14 replies to this topic

[tieutuhamchoi98]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP  THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

Môn: Chuyên Toán

 

Câu 1:

a, Giải hệ:  $xy=x+y+1$

                      $yz=y+z+5$

                  $zx=z+x+2$

b, Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}+3x+2}+\sqrt{x^{2}-1}+6=3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}$

 

Câu 2:

a, CMR nếu n là số nguyên dương thì $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$ chia hết n(n+1)

b, Tìm tất cả các số nguyên tố p,q thỏa mãn $p^{2}-2q^{2}=1$

 

Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $abc=1$. CMR:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

 

Câu 4:

Cho tam giác nhọn ABC AB< AC. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường cao từ A,B,C. P là giao BC và EF. Đường thẳng qua D song song EF cắt AB, AC, CE ở Q,R,S.

CMR:

a, BQCR nội tiếp

b, $\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$ và D là trugn điểm QS

c, Đường tròn ngoại tiếp PQS qua trung điểm BC

 

Câu 5:

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có 3 chữ số tạo thành từ 3 chữ số a,b,c thỏa mãn 2 số bất kỳ k có cùng số dư khi chia cho 16?

 

P/s: Hôm trc mới thi xong! làm đc 8đ bỏ 2 phần cuối! 

Đề chung làm mới nản! Ngu k chịu đc! Có ai thi cùng k thế?

Edited by tieutuhamchoi98, 25-06-2013 - 15:29.

[Ha Manh Huu]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP  THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

Môn: Chuyên Toán

 

Câu 1:

a, Giải hệ:  $xy=x+y+1$

                      $yz=y+z+5$

                  $zx=z+x+2$

b, Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}+3x+2}+\sqrt{x^{2}-1}+6=3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}$

 

Câu 2:

a, CMR nếu n là số nguyên dương thì $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$ chia hết n(n+1)

b, Tìm tất cả các số nguyên tố p,q thỏa mãn $p^{2}-2q^{2}=1$

 

Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $abc=1$. CMR:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

 

Câu 4:

Cho tam giác nhọn ABC AB< AC. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường cao từ A,B,C. P là giao BC và EF. Đường thẳng qua D song song EF cắt AB, AC, CE ở Q,R,S.

CMR:

a, BQCR nội tiếp

b, $\frac{PB}{PC}=\frac{DB}{DC}$ và D là trugn điểm QS

c, Đường tròn ngoại tiếp PQS qua trung điểm BC

 

Câu 5:

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có 3 chữ số tạo thành từ 3 chữ số a,b,c thỏa mãn 2 số bất kỳ k có cùng số dư khi chia cho 16?

 

P/s: Hôm trc mới thi xong! làm đc 8đ bỏ 2 phần cuối! 

Đề chung làm mới nản! Ngu k chịu đc! Có ai thi cùng k thế?

câu 1 a 

ta có (x-1)(y-1)=2 

        (y-1)(z-1)=6

        (z-1)(x-1)=3 

nhân vế 3 pt rồi xét 2 trường hợp ta có nghiệm

 

câu 2 b 

ta có$ 2q^{2}=(p-1)(p+1)$ do  đó (p-1)(p+1) chẵn do p-1 và P+1 cùng tình chẵn lẻ nên (p-1)(p+1) chia hết cho 4 nên $ 2p^{2} $  chia hết cho 4 suy ra p chia hết cho 2 suy ra p=2 vậy q=3

Edited by Ha Manh Huu, 25-06-2013 - 15:53.

[Ha Manh Huu]

bài bđt quy đồng rồi nhân chéo ta có bđt phải cm tương đương vói $ 4(a+b+c+ab+bc+ca)\geq 3(abc+a+b+c+ab+bc+ca+1)\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\geq 3(abc+1)=6$

bđt này hiển nhiên đúng theo AM-GM vậy ta có đpcm

Edited by Ha Manh Huu, 25-06-2013 - 15:55.

[datcoi961999]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP  THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

Môn: Chuyên Toán

 

Câu 1:

a, Giải hệ:  $xy=x+y+1$

                      $yz=y+z+5$

                  $zx=z+x+2$

từ pt trên suy ra

$(x-1)(y-1)=2$

$(y-1)(z-1)=6$

$(z-1)(x-1)=3$

đặt $x-1=a$,$y-1=b$,$z-1=c$

rồi thay vào pt đầu ta tìm được a,b,c

rồi suy ra x,y,z.

[Zaraki]

Câu 2:

a, CMR nếu n là số nguyên dương thì $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$ chia hết n(n+1)

b, Tìm tất cả các số nguyên tố p,q thỏa mãn $p^{2}-2q^{2}=1$

 

Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $abc=1$. CMR:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

Câu 2. a) Tổng quát hơn thì $1^k+2^k+ \cdots + n^k$ chia hết cho $1+2+ \cdots +n$ với $n,k \in \mathbb{N}^*$.

b) Ta có tính chất: $a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ với $a \in \mathbb{Z}$.

Do đó nếu $3 \nmid q$ thì $q^2 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 2q^2+1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Ta suy ra $3|p^2$. Vậy $p=3 \Rightarrow q=2$.

Nếu $3|q$ thì $q=3$. Khi đó $p^2=19$ không chính phương.

Vậy $\boxed{(p,q)=(3;2)}$.

Câu 3. Áp dụng BĐT Cauchy $\frac{a}{(a+1)(b+1)}+ \frac{a+1}{8}+ \frac{b+1}{8} \ge \frac 34 a$.

Cộng lại ta có đpcm.

Edited by Jinbe, 25-06-2013 - 16:21.

[datcoi961999]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP  THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

Môn: Chuyên Toán

Câu 2:

a, CMR nếu n là số nguyên dương thì $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$ chia hết n(n+1)

 

lời giải

Đặt $S=2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$

=>$S=(1^{2013}+n^{2013})+(2^{2013}+(n-1)^{2013})+...+(n^{2013}+1^{2013})$

áp dụng $a^{n}+b^{n}\vdots (a+b)\forall n$ lẻ

=>$S\vdots (n+1)$

lại có $S=2n^{2013}+(1^{2013}+(n-1)^{2013})+...+((n-1)^{2013}+1^1^{2013})$

tương tự=>$S\vdots n$

vì $(n,n+1)=1$

=>$S\vdots n(n+1)$(đpcm)

[Ha Manh Huu]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP  THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

Môn: Chuyên Toán

 

 

 

Câu 2:

a, CMR nếu n là số nguyên dương thì $2(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013})$ chia hết n(n+1)

 

ta cm $ A= 1^{2013} + ...+n^{2013} $ chia hết cho $\frac{n(n+1)}{2}$

nếu n chẵn thì ta có $ A=n^{2013} +(1+(n-1)^{2013})+...+ \frac{n^{2013}}{2}\vdots \frac{n}{2}$

ghép tương tự để xuất hiện n+1 ta có $ A=(n^{2013}+1)+...+((n-k)^{2013}+(k+1)^{2013}) $ chia hết cho (n+1)

vói n lẻ thì n+1 chẵn ta làm tương tự

Edited by Ha Manh Huu, 25-06-2013 - 16:21.

[Zaraki]

b, Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}+3x+2}+\sqrt{x^{2}-1}+6=3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}$

Lời giải. Điều kiện $x \ge 1$.

Đặt $\sqrt{x+1}=a, \sqrt{x+2}=b, \sqrt{x-1}=c$ thì phương trình tương đương $ab+ac+6=3a+2b+2c \Leftrightarrow (a-2)(b+c-3)=0$.

Edited by Jinbe, 25-06-2013 - 16:26.

[ongngua97]

 

 

Câu 3. Áp dụng BĐT Cauchy $\frac{a}{(a+1)(b+1)}+ \frac{a+1}{8}+ \frac{b+1}{8} \ged \frac 34 a$.

Cộng lại ta có đpcm.

Chỗ này sai rồi.

[Ha Manh Huu]

Chỗ này sai rồi.

sai thì sai chứ vói abc=1 thì cái hướng đáy cũng đc tương đương cũng đc

[Katyusha]

 

1. Vì $BCEF$ nội tiếp nên $\angle QBC=\angle FEC$. Vì $QR \parallel EF$ nên $\angle FEC=\angle QRC$. Từ đó $\angle QBC=\angle QRC$ nên $BQCR$ nội tiếp.

 

2. Kẻ $BI \parallel AC$. Ta có $\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{BI}{CE}$. Mặt khác $\triangle IBE\sim \triangle BDA$ nên $\dfrac{IB}{DB}=\dfrac{BE}{AD}\Rightarrow DB=\dfrac{IB.AD}{BE}$.

 

$\triangle ADC\sim \triangle BEC \Rightarrow \dfrac{DC}{EC}=\dfrac{AD}{BE}\Rightarrow DC=\dfrac{EC.AD}{BE}$.

 

Từ đó $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{BI}{CE}=\dfrac{PB}{PC}$.

 

Bây giờ ta có $\triangle PFB\sim \triangle DQB \Rightarrow \dfrac{PB}{DB}=\dfrac{PF}{DQ}$ và $\triangle DSC\sim \triangle PFC \Rightarrow \dfrac{PC}{DC}=\dfrac{PF}{DS}$.

 

Và vì $\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{DB}{DC}$ nên $\dfrac{PB}{DB}=\dfrac{PC}{DC}$ nên suy ra $DS=DQ$.

 

3. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta cần chứng minh $PQMB$ nội tiếp được. Tức là chứng minh $DP.DM=DQ.DR$.

 

Bởi vì $DQ.DR=DB.DC$ do $BQCR$ nội tiếp nên ta quy về chứng minh $DM.DP=DB.DC$.

 

Thật vậy: $$PB.DC=DB.PC \Leftrightarrow (DP-DB)DC=DB.(DP+DC)$$

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=DP.DC-DP.DB $$

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=DP(DC-DB)$$

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=2DP.DM$$

Edited by Katyusha, 26-06-2013 - 07:40.

[tieutuhamchoi98]

 

1. Vì $BCEF$ nội tiếp nên $\angle QBC=\angle FEC$. Vì $QR \parallel EF$ nên $\angle FEC=\angle QRC$. Từ đó $\angle QBC=\angle QRC$ nên $BQCR$ nội tiếp.

 

2. Kẻ $BI \parallel AC$. Ta có $\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{BI}{CE}$. Mặt khác $\triangle IBE\sim \triangle BDA$ nên $\dfrac{IB}{DB}=\dfrac{BE}{AD}\Rightarrow DB=\dfrac{IB.AD}{BE}$.

 

$\triangle ADC\sim \triangle BEC \Rightarrow \dfrac{DC}{EC}=\dfrac{AD}{BE}\Rightarrow DC=\dfrac{EC.AD}{BE}$.

 

Từ đó $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{BI}{CE}=\dfrac{PB}{PC}$.

 

Bây giờ ta có $\triangle PFB\sim \triangle DQB \Rightarrow \dfrac{PB}{DB}=\dfrac{PF}{DQ}$ và $\triangle DSC\sim \triangle PFC \Rightarrow \dfrac{PC}{DC}=\dfrac{PF}{DS}$.

 

Và vì $\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{DB}{DC}$ nên $\dfrac{PB}{DB}=\dfrac{PC}{DC}$ nên suy ra $DS=DQ$.

 

3. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta cần chứng minh $PQMB$ nội tiếp được. Tức là chứng minh $DP.DM=DQ.DR$.

 

Bởi vì $DQ.DR=DB.DC$ do $BQCR$ nội tiếp nên ta quy về chứng minh $DM.DP=DB.DC$.

 

Thật vậy: $$PB.DC=DB.PC \Leftrightarrow (DP-DB)DC=DB.(DP+DC)$$

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=DP.DC-DP.DB $$

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=DP(DC-DB)$$

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=2DP.DM$$

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=2DP.DM$$

Chỗ này sao lại thế bạn?

[Katyusha]

$$\Leftrightarrow 2DB.DC=2DP.DM$$

Chỗ này sao lại thế bạn?

Vì $DC=MC+DM$ còn $DB=MC-DM$ nên $DC-DB=2DM$.

[phamngochung9a]

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP  THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

Môn: Chuyên Toán

 

Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $abc=1$. CMR:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

Biến đổi tương đương rồi dùng AM-GM là xong

Edited by phamngochung9a, 19-03-2015 - 22:06.

[phamngochung9a]

Ai chém câu 5 đi