ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN THPT LÊ KHIẾT 2013-2014
Bài 1:1,5d)
1. Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x^{2}+1}$ với $x\geqslant 0$.
2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng $(m-1)x+(2m+1)y=4m+5$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5d)
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}+xy+y^{2}=3x+y-1$.
Bài 3:(2,5d)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình $x^{2}+(m+2)x-m+1=0$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $\left | \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}} \right |=\frac{3}{10}.$
2. Giải hệ phương trình $(x+1)\sqrt{x}=2\sqrt{y}$ ; $(y+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}$
3. Giải phương trình $3(x^{2}-6)=8(\sqrt{x^{3}-1}-3).$
Bài 4: (3,5d)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB<AC) nội tiếp(O;R). Tiếp tuyến tại A của(O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng $BC=2R.sin\widehat{BAC}$.
2. Điểm N chuyển động trên BC( N khác B và C). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của N lên AB, ẠC Xác định vị trí của N để độ dài EF ngắn nhất.
3. Đặt BC=a, AC=b, AB=c. Tính MA theo a,b,c.
4. Các tiếp tuyến tại B và C của(O) cắt đường thẳng MA lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc PHQ.
Bài 5:(1đ)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
