Chủ đề này có 2 trả lời

[holmes2013]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, Chứng minh:

 

$2\left ( \frac{b}{a} +\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\right )\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3$

[babystudymaths]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, Chứng minh:

 

$2\left ( \frac{b}{a} +\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\right )\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3$

Ta có 1 bđt phụ khá nổi tiếng như sau

Với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác,thì

$3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq 2(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})+3$

Dễ thấy ta chỉ cần xét trường hợp $a\geq b\geq c$ nếu coi a là số lớn nhất trong 3 số a,b,c

Xét hàm số f(a)=$VT-VP$

thì f'(a)=$\frac{3}{b}-\frac{3c}{a^{2}}-\frac{2}{c}+\frac{2b}{a^{2}}= \frac{3(a^{2}-bc)(3c-2b)}{a^{2}bc}$

Vì $a^{2}\geq b^{2}\geq bc$ nên nếu $3c\geq 2b$ thì f(a) là hàm đồng biến,nên f(a)$\geq f(b)$$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}-2\geq 0$

Còn nếu $3b\leq 2c$ thì f(a) nghịch biến nên f(a) >= f(b+c) $= \frac{(b-c)^{2}}{bc}+\frac{3c-2b}{b+c}\geq \frac{4(b-c)^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{3c-2b}{b+c}= \frac{2(b-2c)^{2}+c(b-c)}{(b+c)^{2}}\geq 0$,từ đây suy ra f(a) luôn lớn hơn hoặc bằng 0

Từ đó bđt phụ đc chứng minh

Dễ thấy bđt phụ này chính là kết quả mạnh hơn của bài toán

Thêm $\sum \frac{a}{b}$ vào mỗi vế của bđt phụ,so với bài toán ta thấy chỉ cần cm $\sum \frac{a}{b}\geq 3$,hiển nhiên đúng theo cô si 3 số

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

[holmes2013]

Bạn có thể giải bằng bất đẳng thức cổ điển được không?