cho cácg số thực dương a,b,c CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
Bắt đầu bởi Ha Manh Huu, 08-07-2013 - 08:15
#2
Đã gửi 08-07-2013 - 12:42
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
cho cácg số thực dương a,b,c CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$
Lời giải. Ta có $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2} = 6- \sum \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$. Do đó bài toán đưa về việc chứng minh $$\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}+ \dfrac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \ge 6$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2} \ge \dfrac{4(a+b+c)^2}{2 \sum a^2 + \sum ab}$$.
Ta chỉ cần chứng minh $$\dfrac{4(a+b+c)^2}{2 \sum a^2 + \sum ab} + \dfrac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \ge 6$$
Đặt $a^2+b^2+c^2=x,ab+bc+c=y$ thì $x \ge y$. Khi đó bất đẳng thức tương đương với $$\frac{4(x+2y)}{2x+y}+ \frac{6x}{x+2y} \ge 6 \Leftrightarrow \frac{4(x+2y)}{2x+y}+ \frac{4(2x+y)}{x+2y} \ge 8$$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng theo AM-GM.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 08-07-2013 - 12:46
- Yagami Raito, banhgaongonngon, caybutbixanh và 4 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
