Chủ đề này có 2 trả lời

[letankhang]

Cho $A=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ $(n\epsilon \mathbb{N})$

CMR: $A\epsilon \mathbb{N}$ thì $A$ là số chính phương

[Juliel]

Cho $A=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ $(n\epsilon \mathbb{N})$

CMR: $A\epsilon \mathbb{N}$ thì $A$ là số chính phương

Để A tự nhiên thì $12n^{2}+1$ phải là số chính phương, đặt $12n^{2}+1=t^{2}\Rightarrow$ t lẻ

Đặt $t=2k+1$, ta được :

$12n^{2}+1=(2k+1)^{2}\Leftrightarrow 3n^{2}=k(k+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=3u^{2} & & \\ k+1=v^{2}& & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} k=u^{2} & & \\ k+1=3v^{2} & & \end{matrix}\right.$

• Nếu $\left\{\begin{matrix} k=3u^{2} & & \\ k+1=v^{2} & & \end{matrix}\right.$

$A=2+2(2k+1)=4(k+1)=4v^{2}$ là số chính phương

• Nếu $\left\{\begin{matrix} k=u^{2} & & \\ k+1=3v^{2} & & \end{matrix}\right.$ thì 

$k+1\vdots 3\Rightarrow k\equiv 2(mod3)\Rightarrow u^{2}=k\equiv 2(mod3)$ (vô lí)

Ta có đpcm

 

$@Juliel\rightarrow @letankhang:$ Với mọi số nguyên dương $n$ thì luôn viết được dưới dạng tích của hai số nguyên dương khác : $n=u.v$ , suy ra $k(k+1)=3n^{2}=3u^{2}.v^{2}$

Đây là phương trình ước số. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 09-07-2013 - 14:04

[letankhang]

Để A tự nhiên thì $12n^{2}+1$ phải là số chính phương, đặt $12n^{2}+1=t^{2}\Rightarrow$ t lẻ

Đặt $t=2k+1$, ta được :

$12n^{2}+1=(2k+1)^{2}\Leftrightarrow 3n^{2}=k(k+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=3u^{2} & & \\ k+1=v^{2}& & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} k=u^{2} & & \\ k+1=3v^{2} & & \end{matrix}\right.$

• Nếu $\left\{\begin{matrix} k=3u^{2} & & \\ k+1=v^{2} & & \end{matrix}\right.$

$A=2+2(2k+1)=4(k+1)=4v^{2}$ là số chính phương

• Nếu $\left\{\begin{matrix} k=u^{2} & & \\ k+1=3v^{2} & & \end{matrix}\right.$ thì 

$k+1\vdots 3\Rightarrow k\equiv 2(mod3)\Rightarrow u^{2}=k\equiv 2(mod3)$ (vô lí)

Ta có đpcm

Anh cho em hỏi tại sao ta lại đặt được $k=3u^{2};k+1=v^{2}$ và $k=u^{2};k+1=3v^{2}$