Chủ đề này có 1 trả lời

[buiminhhieu]

Tìm nghiệm nguyên phương trình : $4xy-x-y=z^{2}$

                                                   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 28-04-2014 - 12:04

[Juliel]

Tìm nghiệm nguyên phương trình : $4xy-x-y=z^{2}$

                                                   

 

Bổ đề : Nếu $p$ nguyên tố có dạng $p = 4k + 3$ , $x,y$ là các số nguyên thỏa  $(x^{2}+y^{2})\vdots p$ thì $x,y$ đều chia hết cho $p$ (dễ chứng minh được bằng định lí nhỏ Fermat)

 

Nhận thấy $(0;0;0)$ là một nghiệm nguyên của phương trình

Phương trình tương đương :

$(4x-1)(4y-1)=4z^{2}+1$

Nhận thấy $4x-1\equiv 3(mod4)$ nên tồn tại ít nhất một ước nguyên tố $p$ của nó cũng có dạng $p=4k+3$

Ta có $4x-1\vdots p\Rightarrow 4z^{2}+1\vdots p$

Áp dụng bổ đề thì $1\vdots p\Rightarrow p=1$ (vô lí vì $p$ nguyên tố)

Vậy : $\boxed{(x;y;z)=(0;0;0)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-07-2013 - 17:08