1. Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng :
$\frac{(a+\frac{1}{b}+1)^{2}}{a^{2}+a+1}+\frac{(b+\frac{1}{c}+1)^{2}}{b^{2}+b+1}+\frac{(c+\frac{1}{a}+1)^{2}}{c^{2}+c+1}\geq 9$
2. Cho các số dương $x,y,z$ chứng minh rằng :
$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \frac{9}{(x+y+z)^{2}}$
P.S : Hai bài này thực chất chỉ là 1 thôi, bài 1 là do em biến hóa từ bài 2 ra nên mọi người chỉ cần làm một bài cũng được. Nếu ai làm được hai bài với hai cách khác nhau thì giải hai cách luôn giùm em ! Em cảm ơn !
Đề không sai nhé các bạn !
Bác Juliel để em làm bài 2 nhé
Cách của em hơi trâu bò 1 tẹo
BĐT đã cho tương đương với $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(y^2+yz+z^2)(xy+yz+zx)}+\frac{xy+yz+zx}{(z^2+zx+x^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)\leq (\frac{x^2+xy+y^2+xy+yz+zx}{2})^2=\frac{(x+y)^2(x+y+z)^2}{4}$
Suy ra $\frac{xy+yz+zx}{(x^2+xy+y^2)(xy+yz+zx)}\geq \frac{4(xy+yz+zx)}{(x+y)^2(x+y+z)^2}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại, ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}$
BĐT này chính là BĐT Iran 1996
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$
Edited by vutuanhien, 12-07-2013 - 17:11.