Chủ đề này có 2 trả lời

[quangtq1998]

Cho $a,b,c > 0 $
Chứng minh rằng :
                                   $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge 3 \sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

[banhgaongonngon]

Cho $a,b,c > 0 $
Chứng minh rằng :
                                   $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \ge 3 \sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ cho $3$ bộ $3$ số dương ta có

 

$\mathrm{VT^{2}}.\sum a^{2}b^{2}\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{3}$

$\Rightarrow \mathrm{VT}\geq \sqrt{\frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{3}}{\sum a^{2}b^{2}}}$

 

Ta cần chứng minh

 

$\sqrt{\frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{3}}{\sum a^{2}b^{2}}}\geq \sqrt[4]{27\sum a^{4}}$

$\Leftrightarrow \frac{(\sum a^{2})^{3}}{\sum a^{2}b^{2}}\geq \sqrt{27\sum a^{4}}$       $(*)$

 

Để đơn giản, ta đặt

$(x,y,z)=(a^{2},b^{2},c^{2})$ với $x,y,z>0$

 

Bất đẳng thức $(*)$ trở thành

 

$\frac{(x+y+z)^{3}}{xy+yz+zx}\geq \sqrt{27(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

$\Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}-3\geq \frac{\sqrt{27(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}{x+y+z}-3 $

$\Leftrightarrow \frac{\sum (x-y)^{2}}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{3\sum (x-y)^{2}}{\left ( x+y+z \right )\left ( x+y+z+\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})} \right )}$

$\Leftrightarrow \sum (x-y)^{2}.\left ( \frac{\sum x.\left ( \sum x+\sqrt{3\sum x^{2}} \right )-6\sum xy}{2\sum x\sum xy \left ( \sum x +\sqrt{3\sum x^{2}}\right )} \right )\geq 0$

 

Vậy (*) đúng và bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 21-07-2013 - 16:13

[vinh7aa]

Bài này cấp II làm sao nổi