Tìm tất cả các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn: $xf(y) -yf(x)=f\left ( \frac{y}{x} \right )$;$\forall x\neq 0;y \in R$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tungvansoan: 01-08-2013 - 18:39
Tìm tất cả các hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn: $xf(y) -yf(x)=f\left ( \frac{y}{x} \right )$;$\forall x\neq 0;y \in R$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tungvansoan: 01-08-2013 - 18:39
Mình giải thế này các bạn góp ý nhé
Thay $y=0$ vào phương trình đầu ta được $xf(0)=f(0)\forall x\neq 0\Rightarrow f(0)=0\forall x\neq 0$
Thay $x=y\neq 0$ ta được $f(1)=0$
Thay $y=1$ ta được $xf(1)-f(x)=f(\frac{1}{x})\Rightarrow f(x)+f(\frac{1}{x})=0\forall x\neq 0$
Hay $f\equiv 0$
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Mình giải thế này các bạn góp ý nhé
Thay $y=0$ vào phương trình đầu ta được $xf(0)=f(0)\forall x\neq 0\Rightarrow f(0)=0\forall x\neq 0$
Thay $x=y\neq 0$ ta được $f(1)=0$
Thay $y=1$ ta được $xf(1)-f(x)=f(\frac{1}{x})\Rightarrow f(x)+f(\frac{1}{x})=0\forall x\neq 0$
Hay $f\equiv 0$
Duẩn làm sai rồi kìa,nghiệm của nó là $f(x)=a(x-\frac{1}{x})$ mà...
Nếu $f$ là hằng số,hiển nhiên $f(x)=0$.Xét khi $f$ không là hằng số.Xét $P(x,y)$ thoả mãn tính chất hàm $f$.
$P(1,y) $\Rightarrow f(1)=0$
$P(x,1)\Rightarrow f(x)+f(\frac{1}{x})=0$.Do đó ta có $xf(y)+yf(\frac{1}{x})=f(\frac{y}{x})$ (*)
Mặt khác với $x,y$ khác $0$ ta có
$\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}=\frac{f(\frac{y}{x})}{xy}$.Do đó
$\frac{f(\frac{y}{x})}{xy}=\frac{f(y)}{y}-\frac{f(x)}{x}=(\frac{f(y)}{y}-\frac{f(z)}{z})+(\frac{f(z)}{z}-\frac{f(x)}{x})$
$=\frac{f(\frac{y}{z})}{yz}+\frac{f(\frac{z}{x})}{zx}$
Cho $z=xy$ ta có $\frac{f(\frac{1}{x})}{y}+\frac{f(y)}{x}=f(\frac{y}{x})$ (**)
Từ (*) và (**) ta có $\frac{f(\frac{1}{x})}{y}+\frac{f(y)}{x}=xf(y)+yf(\frac{1}{x})$.
Thay $x\rightarrow \frac{1}{x}$ ta có
$f(y)(x-\frac{1}{x})=f(x)(y-\frac{1}{y})$,hay $\frac{f(x)}{x-\frac{1}{x}}=const$
Và ta có $f(x)=a(x-\frac{1}{x})$,thử lại thỏa mãn.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh