Chủ đề này có 12 trả lời

[Yagami Raito]

$\boxed{1}$. Chứng tỏ với mọi $n$ là số nguyên dương thì

 

$$(1+\frac{1}{n})^{n}<3$$

 

$\boxed{2}$. Tìm min

 

$M=\frac{4a}{a+b+2c}+\frac{b+3c}{2a+b+c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

 

$\boxed{3}$ Cho $a,b,c$ là các số dương không lớn hơn 1. Chứng minh

 

$$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}<2$$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-08-2013 - 15:04

[trauvang97]

 

$\boxed{3}$ Cho $a,b,c$ là các số dương không lớn hơn 1. Chứng minh

 

$$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}<2$$ 

 

Do $b,c \leq 1$ nên ta có: $(b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c$

 

Do đó ta có: $\frac{a}{bc+1}\leq \frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$

 

Tương tự ta có: $\frac{b}{ca+1}<\frac{2b}{a+b+c}$, $\frac{c}{ab+1}<\frac{2c}{a+b+c}$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có đpcm

[Ha Manh Huu]

Do $b,c \leq 1$ nên ta có: $(b-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c$

 

Do đó ta có: $\frac{a}{bc+1}\leq \frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$

 

Tương tự ta có: $\frac{b}{ca+1}<\frac{2b}{a+b+c}$, $\frac{c}{ab+1}<\frac{2c}{a+b+c}$

 

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có đpcm

anh làm giống em nhưng mà cái đỏ chưa chắc đúng anh ạ nó đúng khi a,b,c là cạnh của 1 tam giác thôi tức là $\frac{a}{b+c} \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 01-08-2013 - 15:15

[nguyencuong123]

Anh làm câu 2 nha:

đặt a+b+2c=x

     2a+b+c=y

     a+b+3c=z 

Nên 4a=4(y+z-2x)

       8c=8(z-x)

       b+3c=5x-y

Nên bđt cần cm tương đương: $\frac{4(y+z-2x)}{x}+\frac{2x-y}{y}-\frac{8(x-z)}{z}=\frac{4y}{x}+\frac{4z}{x}-8+\frac{8x}{z}-8+\frac{3x}{y}-1=(\frac{4y}{x}+\frac{3x}{y})+(\frac{8x}{z}+\frac{4z}{x})-17\geq 2\sqrt{12}+2\sqrt{32}-17$.

 

 

 

 

                                        Uchiha Itachi   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 01-08-2013 - 15:37

[Simpson Joe Donald]

Anh làm câu 2 nha:

đặt a+b+2c=x

     2a+b+c=y

     a+b+3c=z 

Nên 4a=4(y+z-2x)

       8c=8(z-x)

       b+3c=5x-y

Nên bđt cần cm tương đương: $\frac{4(y+z-2x)}{x}+\frac{2x-y}{y}-\frac{8(x-z)}{z}=\frac{4y}{x}+\frac{4z}{x}-8+\frac{8x}{z}-8+\frac{3x}{y}-1=(\frac{4y}{x}+\frac{3x}{y})+(\frac{8x}{z}+\frac{4z}{x})-17\geq 2\sqrt{12}+2\sqrt{32}-17$.

 

 

 

 

                                        Uchiha Itachi   

Đã có tại đây: http://diendantoanho...geq-12sqrt2-17/

[nguyencuong123]

Câu 1 em tham khảo link này nka: http://answers.yahoo...08091208AAyIv5Z

[Yagami Raito]

Câu 1 em nghĩ thế này Chứng minh bài toán phụ

 

$(1+\frac{1}{n})^{k}<1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2}$  ( với $k \leq n$ n là số nguyên dương  )

 

Cái này chứng minh quy nạp là ok...

 

Tới đây chắc bài toán đã được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 04-08-2013 - 21:52

[nguyencuong123]

Câu 1 em nghĩ thế này Chứng minh bài toán phụ

 

$(1+\frac{1}{n})^{k}<1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2}$  ( với $k \geq n$ n là số nguyên dương  )

 

Cái này chứng minh quy nạp là ok...

 

Tới đây chắc bài toán đã được chứng minh

Không được đâu mà. Vì $1+\frac{k}{n}+\frac{k^{2}}{n^{2}}\geq 3$ do  $k \geq n$ n là số nguyên dương chứ không phải $1+\frac{k}{n}+\frac{k^{2}}{n^{2}}\leq 3$ đâu em

[Yagami Raito]

Em nhầm $k \leq n$  đó

[nguyencuong123]

Em nhầm $k \leq n$  đó

Nếu thề thì hoàn tất chứng minh rồi.Chỉ việc chứng minh bđt yếu hơn  đó thôi. Post lên anh xem   

[Ha Manh Huu]

Em nhầm $k \leq n$  đó

em xem lại bài 3 có vấn đề j ko

[nguyencuong123]

em xem lại bài 3 có vấn đề j ko

Bài 3 chắc điều kiện là a,b,c là 3 cạnh của tam giác đó

[forever friend]

ai làm rõ bài 1 hơn được không. giúp em với