Chủ đề này có 5 trả lời

[Ha Manh Huu]

cho a,b,c>0 và a+b+c=3 tìm max của $P=2ab+3ac +4bc$

[Juliel]

cho a,b,c>0 và a+b+c=3 tìm max của $P=2ab+3bc +4ca$

 

Viết $P$ thành :

$$P=\frac{3}{2}a(b+c)+\frac{1}{2}b(c+a)+\frac{5}{2}c(a+b)=\frac{3}{2}a(3-a)+\frac{1}{2}b(3-b)+\frac{5}{2}c(3-c)=\frac{3}{2}\left [ \frac{9}{4}-(a-\frac{3}{2})^{2} \right ]+\frac{1}{2}\left [ \frac{9}{4}-(b-\frac{3}{2})^{2} \right ]+\frac{5}{2}\left [ \frac{9}{4}-(c-\frac{2}{3})^{2} \right ]=\frac{81}{8}-\frac{1}{2}\left [ 3(a-\frac{3}{2})^{2}+(b-\frac{3}{2})^{2}+5(c-\frac{3}{2})^{2} \right ]$$

Như vậy để $P$ max thì chỉ cần biểu thức $A= 3(a-\frac{3}{2})^{2}+(b-\frac{3}{2})^{2}+5(c-\frac{3}{2})^{2}$ min

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

$$(\frac{1}{3}+1+\frac{1}{5})[ 3(a-\frac{3}{2})^{2}+(b-\frac{3}{2})^{2}+5(c-\frac{3}{2})^{2}] \geq (a+b+c-\frac{3.3}{2})^{2}=\frac{9}{4}\Rightarrow A\geq \frac{135}{92}$$

Suy ra $$P\leq \frac{81}{8}-\frac{1}{2}.\frac{135}{92}=\frac{216}{23}$$

$MaxP=\frac{216}{23}\Leftrightarrow a=...;b=....;c=...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-08-2013 - 19:15

[Simpson Joe Donald]

Cách khác: 

Gọi $x$ là 1 giá trị của biểu thức $P$, khi đó ta có: $x=2ab+3bc+4ca$.

Thay $c=3-a-b$, ta được:

$$x=2ab+3b(3-a-b)+4a(3-a-b) \\ \iff 4a^2+(5b-12)a+3b^2-9b+x=0$$

Ta có:

$$\Delta _x=(5b-12)^2-4.4(3b^2-9b+x)\ge 0 \\ \iff -23b^2+24b+144\ge 16x$$

Mà:

$$-23b^2+24b+144=\dfrac{3456}{23}-23\left(b-\dfrac{12}{23}\right)^2\le \dfrac{3456}{23} \\ \implies a\le \dfrac{216}{23} \ \text{hay P }\le \dfrac{216}{23}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 02-08-2013 - 07:21

[Ha Manh Huu]

Viết $P$ thành :

$$P=\frac{3}{2}a(b+c)+\frac{1}{2}b(c+a)+\frac{5}{2}c(a+b)=\frac{3}{2}a(3-a)+\frac{1}{2}b(3-b)+\frac{5}{2}c(3-c)=\frac{3}{2}\left [ \frac{9}{4}-(a-\frac{3}{2})^{2} \right ]+\frac{1}{2}\left [ \frac{9}{4}-(b-\frac{3}{2})^{2} \right ]+\frac{5}{2}\left [ \frac{9}{4}-(c-\frac{2}{3})^{2} \right ]=\frac{81}{8}-\frac{1}{2}\left [ 3(a-\frac{3}{2})^{2}+(b-\frac{3}{2})^{2}+5(c-\frac{3}{2})^{2} \right ]$$

Như vậy để $P$ max thì chỉ cần biểu thức $A= 3(a-\frac{3}{2})^{2}+(b-\frac{3}{2})^{2}+5(c-\frac{3}{2})^{2}$ min

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

$$(\frac{1}{3}+1+\frac{1}{5})[ 3(a-\frac{3}{2})^{2}+(b-\frac{3}{2})^{2}+5(c-\frac{3}{2})^{2}] \geq (a+b+c-\frac{3.3}{2})^{2}=\frac{9}{4}\Rightarrow A\geq \frac{135}{92}$$

Suy ra $$P\leq \frac{81}{8}-\frac{1}{2}.\frac{135}{92}=\frac{216}{23}$$

$MaxP=\frac{216}{23}\Leftrightarrow a=...;b=....;c=...$

ê Ju ông phải tổng quát hóa cho cái dạng cho a+b+c=k ,tìm max của mab +nbc +pac với k,m,n,p là số dương chứ

[nguyencuong123]

ê Ju ông phải tổng quát hóa cho cái dạng cho a+b+c=k ,tìm max của mab +nbc +pac với k,m,n,p là số dương chứ

Theo tôi cách của 

Simpson Joe Donald

 đưa về dạng tổng quát hơn

[nguyencuong123]

ê Ju ông phải tổng quát hóa cho cái dạng cho a+b+c=k ,tìm max của mab +nbc +pac với k,m,n,p là số dương chứ

Còn theo cách của ju thì để đưa về dạng $xa(b+c)+yb(c+a)+zc(a+b)=mab+nbc+pac\Leftrightarrow (x+y)ab+(y+z)bc+(x+z)ca=mab+nbc+pac\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=m & & \\ y+z=n& & \\ x+z=p& & \end{matrix}\right.$.Từ đây tìm được x,y,z thôi .đoạn sau thì chỉ phân tích cái bình phương để triệt tiêu là xong sau đó áp dụng C-S là ok