Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Chứng minh rằng nếu ma trận $A$ lũy linh và $B$ là một ma trận giao hoán với $A$ thì $I-AB$ và $I+AB$ là các ma trận khả nghịch.
Chứng minh rằng nếu ma trận $A$ lũy linh và $B$ là một ma trận giao hoán với $A$ thì $I-AB$ và $I+AB$ là các ma trận khả nghịch.
Bắt đầu bởi vo van duc, 02-08-2013 - 16:04
#2
Đã gửi 03-08-2013 - 14:47
zarya
-
- Thành viên
-
- 145 Bài viết
Trung sĩ
A lũy linh và B giao hoán với A thì hiển nhiên AB và BA cũng lũy linh. Nếu tồn tại r nguyên dương ($r\geq 2$) sao cho $A^{r}=0$ thì $(AB)^{r}=A^{r}B^{r}=B^{r}A^{r}=0$.
$I=I^{r}-(AB)^{r}=(I+AB)\sum_{k=0}^{r-1}(AB)^{k}=(\sum_{k=0}^{r-1}(AB)^{k})(I+AB)$
--> $I+AB$ là khả nghịch.
Nếu r là số lẻ thì:
$I=I^{r}+(AB)^{r}=(I+AB)\sum_{k=0}^{r-1}(-1)^{k}(AB)^{k}=(\sum_{k=0}^{r-1}(-1)^{k}(AB)^{k})(I+AB)$
Nếu r là chẵn, $A^{r}=0 \rightarrow A^{r+1}=0$: $I=I^{r+1}+(AB)^{r+1}=(I-AB)\sum_{k=0}^{r}(-1)^{k}(AB)^{k}=(\sum_{k=0}^{r}(-1)^{k}(AB)^{k})(I-AB)$
Do đó, $I-AB$ cũng là khả nghịch.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 03-08-2013 - 14:49
- vo van duc, duong vi tuan và YeuEm Zayta thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
