Chủ đề này có 4 trả lời

[vo van duc]

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ a & b \end{pmatrix}$.

 

Tìm $a,b$ sao cho $A^3=A$

[zarya]

Nếu cứ theo cách thông thường thì:

Đặt x=2a, y=2b, ta có:

 

$A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 1\\  x & y \end{bmatrix}$

 

Theo bài ra, $A^{3}=A$ nên:

 

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 1\\  x& y \end{bmatrix}=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}1 & 1\\  x& y \end{bmatrix}^{3}$

 

$\Rightarrow 4\begin{bmatrix}1 & 1\\  x& y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1\\  x& y \end{bmatrix}^{3}$

 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1+x+x(1+y) &1+y+y(1+y) \\  x(1+y)+x(x+y^{2})& x(1+y)+y(x+y^{2}) \end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}1 &1 \\  x& y \end{bmatrix}$

 

Giải hệ các phương trình, ta được các nghiệm:  $(x,y)=\left \{(1,1),(-3,-3),(3,-1)  \right \}$

 

Vậy các ma trận A thỏa mãn là:

 

$A_{1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

 

$A_{2}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2}& -\frac{3}{2} \end{bmatrix}$

 

$A_{3}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

 

Tuy nhiên, cách này máy móc và cần phải thực hiện tính toán nhiều. Anh Đức có hướng đi khác nhanh hơn rồi chứ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zarya: 03-08-2013 - 13:38

[zarya]

Hôm nay nghĩ lại bài này, nếu từ điều kiện ban đầu: $A^3=A$ mà dẫn đến ngay$A^2=I_2$ thì bài toán có một nghiệm duy nhất là: $A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 3& -1 \end{bmatrix}$.

Vậy tại sao cách suy nghĩ như vậy lại làm mất nghiệm của phương trình này? 

[YeuEm Zayta]

Đơn giản là: như thế sẽ mất nghiệm $A$ thỏa: $det(A)=1$

[zarya]

Mình quên mất nếu $AB=0$ thì không có nghĩa là $A=0$ hoặc $B=0$