Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 06-08-2013 - 05:55
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b thỏa mãn b>1 và $2^a+1$ chia hết cho $2^b-1$
Bắt đầu bởi hoangtubatu955, 05-08-2013 - 21:12
#2
Đã gửi 06-08-2013 - 05:54
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Lời giải. Vì $2^b-1|2^a+1$ nên $2^b-1|2^{2a}-1$, Ta suy ra $b|2a$.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b thỏa mãn b>1 và $2^a+1$ chia hết cho $2^b-1$
Nếu $\gcd (b,2)=1$ thì $b|a$. Đặt $a=bk$ với $k \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $2^a+1= 2^{bk}-1+2$ chia hết cho $2^b-1$ khi $2^b-1|2$. Vậy $b=1$, mâu thuẫn.
Nếu $2|b$ thì $b=2b'$ với $b' \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $b'|a$ nên $a=b'k$ với $k \in \mathbb{N}^*$. Vậy $2^a+1=2^{b'k}-1+2$ chia hết cho $2^{2b'}-1$ hay chia hết cho $2^{b'}-1$ khi $2^{b'}-1|2$. Vậy $b'=1 \Rightarrow b=2$.
Khi đó $2^a+1$ chia hết cho $3$ nếu $a$ lẻ.
Vậy $\boxed{(a,b)=(2k+1,2)}$ với $k \in \mathbb{N}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 06-08-2013 - 05:58
- tranquocluat_ht và DarkBlood thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 06-08-2013 - 22:40
hoangtubatu955
-
- Thành viên
-
- 429 Bài viết
Sĩ quan
Lời giải. Vì $2^b-1|2^a+1$ nên $2^b-1|2^{2a}-1$, Ta suy ra $b|2a$.
Nếu $\gcd (b,2)=1$ thì $b|a$. Đặt $a=bk$ với $k \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $2^a+1= 2^{bk}-1+2$ chia hết cho $2^b-1$ khi $2^b-1|2$. Vậy $b=1$, mâu thuẫn.
Nếu $2|b$ thì $b=2b'$ với $b' \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $b'|a$ nên $a=b'k$ với $k \in \mathbb{N}^*$. Vậy $2^a+1=2^{b'k}-1+2$ chia hết cho $2^{2b'}-1$ hay chia hết cho $2^{b'}-1$ khi $2^{b'}-1|2$. Vậy $b'=1 \Rightarrow b=2$.
Khi đó $2^a+1$ chia hết cho $3$ nếu $a$ lẻ.
Vậy $\boxed{(a,b)=(2k+1,2)}$ với $k \in \mathbb{N}$.
Giải thích hộ mình cái
#4
Đã gửi 07-08-2013 - 09:54
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Giải thích hộ mình cái
Vì $2^{2a}-1=(2^a+1)(2^a-1)$ mà $2^b-1 | 2^a+1$ nên $2^b-1|2^{2a}-1$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
