Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có
$9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq r_{a}+r_{b}+r_{c}\leq \frac{9}{2}R$
trong đó
- $R,r$ là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp
- $r_{a},r_{b},r_{c}$ là bán kính các đường tròn bàng tiếp
- $h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài ba đường cao
- $l_{a},l_{b},l_{c}$ là độ dài ba đường phân giác trong
- $m_{a},m_{b},m_{c}$ là độ dài ba đường trung tuyến.
a) Chứng minh $9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}$ :
Ta có $$r=\frac{S}{p},h_{a}=\frac{2S}{a},h_{b}=\frac{2S}{b},h_{c}=\frac{2S}{c}$$
Do đó cần chứng minh :
$$\frac{9S}{p}\leq \frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{2p}=\frac{9}{a+b+c}$$
Hiển nhiên đúng theo $Cauchy-Schwarz$
b) Chứng minh $h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq l_{a}+l_{b}+l_{c}$.
Ta có $h_{a}\leq l_{a},h_{b}\leq l_{b},h_{c}\leq l_{c}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
Cộng vế các BĐT trên ta được $h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq l_{a}+l_{b}+l_{c}$
c) Chứng minh $l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}$
Ta sẽ chứng minh : $l_{a}\leq m_{a}$.
Thật vậy, ta có $l_{a}=\frac{2}{b+c}\sqrt{pbc(p-a)}=\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}$ và $m_{a}=\frac{1}{2}\left ( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2} \right )$
Do đó cần chứng minh $$\frac{bc(a+b+c)(b+c-a)}{(b+c)^{2}}\leq \frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})$$
Nhưng điều này luôn đúng vì : $\frac{bc}{(b+c)^{2}}\leq \frac{1}{4}$ và $(a+b+c)(b+c-a)=(b+c)^{2}-a^{2}\leq 2b^{2}+2c^{2}-a^{2}$
Như vậy thì $l_{a}\leq m_{a}$. Tương tự $l_{b}\leq m_{b},l_{c}\leq m_{c}$. Cộng vế các BĐT này thì được $l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}$
d) Chứng minh $m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq r_{a}+r_{b}+r_{c}$
Chú ý rằng $r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r$ nên ta chứng minh $m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq 4R+r$.
Xem chứng minh tại đây
e) Chứng minh $r_{a}+r_{b}+r_{c}\leq \frac{9R}{2}$
Ta có $r_{a}=\frac{S}{p-a},r_{b}=\frac{S}{p-b},r_{c}=\frac{S}{p-c}$ và $R=\frac{abc}{4S}$
Nên ta chứng minh $$S\left ( \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right )\leq \frac{9abc}{8S}\Leftrightarrow S^{2}.\frac{(p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-c)(p-a)}{(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \frac{9abc}{8}\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)+(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)\leq \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow \frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$$
Đây chính là BĐT $Schur$ bậc nhất. Như vậy thì ta có $r_{a}+r_{b}+r_{c}\leq \frac{9R}{2}$
Từ tất cả các điều trên, ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 20-09-2013 - 15:30
