1 Bình chọn
Thượng sĩ
chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.
mở rộng:
chứng minh rằng
với các số nguyên dương x,y không chính phương và x chia 4 dư 1 và y chia 4 dư 2 thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số vô tỉ.
chẳng hạn với số $A=\sqrt{5}+\sqrt{6}$
sau đó rút ra tổng quát bài toán này?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datcoi961999: 23-08-2013 - 22:14
ZION 
$\sqrt{MF}'s$ $member$
chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.
mở rộng:
chứng minh rằng
với các số nguyên dương x,y không chính phương và chia 4 dư 1 thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số vô tỉ.
Giả sử $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
$\sqrt{a}= \frac{m}{n}$ với $m;n\in \mathbb{N};n\neq 0;(m,n)=1$
Ta có $m^{2}=an^{2}$
Vì $a$ là số tự nhiên nên :
$m^{2}\vdots n^{2}$
Gọi $p$ là 1 ước nguyên tố nào đó của $n$; thế thì :
$m^{2}\vdots p$
Như vậy $p$ là ước nguyên tố của $m$ và $n$; trái với $(m,n)=1$
Vậy $\sqrt{a}$ phải là số vô tỉ
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Thượng sĩ
Giả sử $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
$\sqrt{a}= \frac{m}{n}$ với $m;n\in \mathbb{N};n\neq 0;(m,n)=1$
Ta có $m^{2}=an^{2}$
Vì $a$ là số tự nhiên nên :
$m^{2}\vdots n^{2}$
Gọi $p$ là 1 ước nguyên tố nào đó của $n$; thế thì :
$m^{2}\vdots p$
Như vậy $p$ là ước nguyên tố của $m$ và $n$; trái với $(m,n)=1$
Vậy $\sqrt{a}$ phải là số vô tỉ
vậy bạn chứng minh hệ quả thử xem!
ZION
$\sqrt{MF}'s$ $member$
vậy bạn chứng minh hệ quả thử xem!
Cái mở rộng mình chưa nghĩ ra bạn à; cứ bị sai chỗ này chỗ nọ; mình cũng chưa tận dụng được gì từ cái chia 4 dư 1 @@!
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Thượng sĩ
Cái mở rộng mình chưa nghĩ ra bạn à; cứ bị sai chỗ này chỗ nọ; mình cũng chưa tận dụng được gì từ cái chia 4 dư 1 @@!
à! mình ghi thiếu đề!! 
ZION
$\sqrt{MF}'s$ $member$
chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.
mở rộng:
chứng minh rằng
với các số nguyên dương x,y không chính phương và x chia 4 dư 1 và y chia 4 dư 2 thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số vô tỉ.
chẳng hạn với số $A=\sqrt{5}+\sqrt{6}$
sau đó rút ra tổng quát bài toán này?
à! mình ghi thiếu đề!!
Ta có :
Giả sử $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=a$
$\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=a^{2}\Rightarrow 2\sqrt{(4k+1)(4k+2)}=a^{2}-x-y\Rightarrow 2\sqrt{(16k^{2}+12k+2)}=a^{2}-x-y\Rightarrow 2\sqrt{(4k+\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}}=a^{2}-x-y$
Áp dụng câu đầu tiên thì ta dễ thấy $VT$ là số vô tỉ
Còn theo giả sử thì $VP=a^{2}-x-y$ là số hữu tỉ
Suy ra giả sử sai
Suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số vô tỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 23-08-2013 - 22:26
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Trung sĩ
Giả sử $\sqrt{x} + \sqrt{y} = a$ là số hữu tỷ $\Rightarrow$ $x = (a - \sqrt{y})^{2} = a^{2} + y - 2a\sqrt{y}$
$\Rightarrow$ $\sqrt{y} = \frac{a^{2} + y - x}{2a}$ $\varepsilon \mathbb{Q}$ (vô lý)
Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)
Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)
Trung úy
Ta có :
Giả sử $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=a$
$\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=a^{2}\Rightarrow 2\sqrt{(4k+1)(4k+2)}=a^{2}-x-y\Rightarrow 2\sqrt{(16k^{2}+12k+2)}=a^{2}-x-y\Rightarrow 2\sqrt{(4k+\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}}=a^{2}-x-y$
Áp dụng câu đầu tiên thì ta dễ thấy $VT$ là số vô tỉ
Còn theo giả sử thì $VP=a^{2}-x-y$ là số hữu tỉ
Suy ra giả sử sai
Suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số vô tỉ
tai sao vt lại là số vô tỉ
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
$\sqrt{MF}'s$ $member$
Ta có :
Giả sử $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=a$
$\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=a^{2}\Rightarrow 2\sqrt{(4k+1)(4k+2)}=a^{2}-x-y\Rightarrow 2\sqrt{(16k^{2}+12k+2)}=a^{2}-x-y\Rightarrow 2\sqrt{(4k+\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}}=a^{2}-x-y$
Áp dụng câu đầu tiên thì ta dễ thấy $VT$ là số vô tỉ
Còn theo giả sử thì $VP=a^{2}-x-y$ là số hữu tỉ
Suy ra giả sử sai
Suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ là số vô tỉ
tai sao vt lại là số vô tỉ
Ta dễ thấy $(16k^{2}+12k+2)\equiv 2(mod4)\Rightarrow 16k^{2}+12k+2$ không là số chính phương
Theo câu đầu :
chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a không chính phương thì $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.
$\Rightarrow \sqrt{16k^{2}+12k+2}$ là số vô tỉ
Suy ra $VT$ là số vô tỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 25-08-2013 - 09:19
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
