Chủ đề này có 2 trả lời

[trongthuc]

1. cho x,y,z dương. x + y + z = 3. tìm GTNN của P = $\frac{x}{1+y^{2}}+ \frac{y}{1 + z^{2}}+\frac{z}{1+x^{2}}$

2. cho x,y,z dương. xyz = 8. tìm GTLN của P = $\frac{x-2}{x+1}+\frac{y-2}{y+1}+\frac{z-2}{z+1}$

[Near Ryuzaki]

1. cho x,y,z dương. x + y + z = 3. tìm GTNN của P = $\frac{x}{1+y^{2}}+ \frac{y}{1 + z^{2}}+\frac{z}{1+x^{2}}$

 

1/ Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu. Ta có :

$\frac{x}{y^2+1}=x-\frac{xy^2}{y^2+1}\geq x- \frac{xy ^2}{2y}= x- \frac{xy}{2}$ ( dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=1)

Tương tự$\frac{y}{z^2+1}\geq y-\frac{yz}{2}$ ( dấu bằng xảy ra khi y=1)

             và $\frac{z}{x^2+1}\geq z-\frac{xz}{2}$ ( dấu bằng xảy ra khi z=1)

=> $P\geq (x+y+z)-(\frac{xy+yz+xz}{2})\geq 3-(\frac{(x+y+z)^2}{6})=\frac{3}{2}$

Min P =$\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi x=y=z=1

[25 minutes]

 

2. cho x,y,z dương. xyz = 8. tìm GTLN của P = $\frac{x-2}{x+1}+\frac{y-2}{y+1}+\frac{z-2}{z+1}$

Ta có $P=3-3(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1})$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geqslant 1$ với $xyz=8$

Do vai trò của $x,y,z$ là như nhau nên ta có thể giả sử $x \geqslant y \geqslant z >0$

                $\Rightarrow xy\geqslant 4$

Dễ dàng sử dụng bất đẳng thức quen thuộc sau 

               $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\geqslant \frac{2}{\sqrt{xy}+1}$ với $xy \geqslant 4 >1$

Khi đó $\sum \frac{1}{1+x}\geqslant \frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}$

Đặt $t=\sqrt{xy}\geqslant 2$, $\Rightarrow \sum \frac{1}{1+x}=\frac{2}{t+1}+\frac{1}{\frac{8}{t^2}+1}=\frac{t^2}{t^2+8}+\frac{2}{t+1}=f(t)$

         $f(t)-1=\frac{(t-2)^2}{(t+1)(t^2+8)}\geqslant 0$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x+1}\geqslant f(t)\geqslant 1$

$\Rightarrow P\leqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$