Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Cho $x;y;z$ thỏa mãn: $\begin{cases} x+y+z=5 \\ x^2+y^2+z^2=9 \end{cases}$

Chứng minh rằng: $1\leq x;y;z\leq \frac{7}{3}$

[trandaiduongbg]

Cho $x;y;z$ thỏa mãn: $\begin{cases} x+y+z=5 \\ x^2+y^2+z^2=9 \end{cases}$

Chứng minh rằng: $1\leq x;y;z\leq \frac{7}{3}$

 

 

Đây là đề thi chuyên toán- tin ĐHTH TP HCM

Từ: x+y+z=5 $\Rightarrow$ y+z=5-x $\Rightarrow$ $(y+z)^2=(5-x)^2$

Ta có:
$2(y^2+z^2) \geq (y+z)^2$ $\Rightarrow$ $2(9-x^2) \geq (5-x)^2$
Phá tung nó ra ta đc:
$-3x^2+10x-7 \geq 0$
$\Rightarrow$ $1 \leq x \leq \frac{7}{3}$
Tương tự ta có đpcm
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 25-08-2013 - 21:29

[Juliel]

Cho $x;y;z$ thỏa mãn: $\begin{cases} x+y+z=5 \\ x^2+y^2+z^2=9 \end{cases}$

Chứng minh rằng: $1\leq x;y;z\leq \frac{7}{3}$

Viết hệ thành :

$$\left\{\begin{matrix}x+y=5-z &  & \\  (x+y)^{2}-2xy=9-z^{2}&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y=5-z &  & \\ xy=z^{2}-5z+8 &  & \end{matrix}\right.$$

Theo định lí $Viete$ đảo thì $x,y$ là hai nghiệm của phương trình :

$$t^{2}+(z-5)t+z^{2}-5z+8=0$$

Để tồn tại nghiệm của phương trình trên thì :

$$\Delta =(z-5)^{2}-4(z^{2}-5z+8)=-3z^{2}+10z-7\geq 0\Leftrightarrow 1\leq z\leq \frac{7}{3}$$

Vì vai trò của $x,y,z$ như nhau nên ta có $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

[Supermath98]

Cho $x;y;z$ thỏa mãn: $\begin{cases} x+y+z=5 \\ x^2+y^2+z^2=9 \end{cases}$

Chứng minh rằng: $1\leq x;y;z\leq \frac{7}{3}$

Ta có: $\large gt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=5& & \\ xy=z^{2}-5z+8 & & \end{matrix}\right.$

Do đó x;y là nghiệm của pt: $\large X^{2}-\left ( 5-z \right )X+z^{2}-5z+8=0$

Vì hệ gt có nghiệm nên ot trên có nghiệm. Hay $\large \Delta '=-3z^{2}+10z-7\geq 0\Rightarrow \left ( z-1 \right )\left ( 3z-7 \right )\leq 0$$\large \Rightarrow Q.E.D$