Chủ đề này có 4 trả lời

[huou202]

Bài 1 Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^2+y^2+z^2+2xy=3(x+y+z)$ .Tìm min của $P=x+y+z+\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$.

Bài 2 Cho $x,y\geq 1$. và $3(x+y)=4xy$.Tìm min ,max của $P=x^3+y^3+3(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3})$

Bài 3 Cho x,y,z thoả mãn $x^2+y^2=1$.Tìm min của $P=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$

 

 

[letankhang]

 

Bài 3 Cho x,y,z thoả mãn $x^2+y^2=1$.Tìm min của $P=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$

$gt\Rightarrow P=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\frac{1}{2}(\frac{4}{x+y})\geq 4+2\sqrt{2}+\frac{1}{2}(\frac{4}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}})=4+3\sqrt{2}$

Vậy :

$MinP=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[Lugiahooh]

$gt\Rightarrow P=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\frac{1}{2}(\frac{4}{x+y})\geq 4+2\sqrt{2}+\frac{1}{2}(\frac{4}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}})=4+3\sqrt{2}$

Vậy :

$MinP=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Chưa có giả thiết x,y dương mà bạn, nên tình huống này có lẽ hơi "vội" nếu dùng cosi. Mình nghĩ quen thuộc vẫn là sử dụng pp đưa về hàm một biến rồi khảo sát thôi . Và tất nhiên kết quả sẽ khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lugiahooh: 27-08-2013 - 22:55

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1

Giải

Từ giả thiết, ta có: $3(x + y + z) = (x + y)^2 + z^2 \geq \dfrac{(x + y + z)^2}{2} \Leftrightarrow 0 \leq x + y + z \leq 6$

Đặt $t = x + y + z$, khi đó $0 < t \leq 6$ (Do x, y, z > 0)

Ta có:

$P = x + y + z + \dfrac{20}{\sqrt{x + z}} + \dfrac{20}{\sqrt{y + 2}} = t + 20\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x + z}} + \dfrac{1}{\sqrt{y + 2}}\right )$

 

$\geq t + 20.\dfrac{4}{\sqrt{x + z} + \sqrt{y + 2}} \geq t + \dfrac{80}{\sqrt{2(x + y + z + 2)}} = t + \dfrac{80}{\sqrt{2(t + 2)}}$

 

Xét hàm số $f(t) = t + \dfrac{80}{\sqrt{2(t + 2)}}$ với $t \in (0; 6]$ có $f'(t) = 1 - \dfrac{40}{\sqrt{2(t + 2)^3}}$

Khi đó: $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2(\sqrt[3]{100} - 1)$

Do $0 < t \leq 6$ nên ta không nhận giá trị này.

Lập bảng biến thiên, ta tìm được: $\underset{\forall x \in (0; 6]}{Min_{f(t)}} = 26$ khi $t = 6$

Vậy: $Min_P = 26$. Dấu "=" xảy ra khi $x = 1, y = 2, z = 3$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 2

Giải

Theo giả thiết, ta có; $\left\{\begin{matrix}x + y \geq 2\\(x - 1)(y - 1) \geq 0\\3(x + y) = 4xy \leq (x + y)^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x + y \geq 2\\xy - (x + y) + 1\geq 0\\3(x + y) = 4xy \leq (x + y)^2\end{matrix}\right.$ 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3 \leq x + y \leq 4\\3(x + y) = 4xy\end{matrix}\right.$

 

Đặt $x + y = t$, khi đó: $\left\{\begin{matrix}3 \leq t \leq 4\\xy = \dfrac{3}{4}t\end{matrix}\right.$

Ta có:

$P = x^3 + y^3 + 3 \left ( \dfrac{1}{x^3 + y^3}\right ) $

$= (x + y)^3 - 3xy(x + y) + 3\dfrac{(x + y)^3 - 3xy(x + y)}{x^3y^3} = t^3 - \dfrac{9}{4}t^2 + \dfrac{64}{9} - \dfrac{16}{t}$

 

Xét hàm $f(t) = t^3 - \dfrac{9}{4}t^2 + \dfrac{64}{9} - \dfrac{16}{t}$ trên $[3; 4]$ có $f'(t) = 3t^2 - \dfrac{9}{2}t + \dfrac{16}{t^2} > 0$

Nhận thấy: $\forall$ $t \in [3; 4]$ thì $f(t) > 0$. Vậy hàm đồng biến trên [3; 4].

Do đó: $f(3) \leq f(x) \leq f(4)$

 

Kết luận: 

$Min_P = \dfrac{307}{36}$ khi $x = y = \dfrac{3}{2}$

 

$Max_P = \dfrac{280}{9}$ khi $(x; y) = (3; 1)$ hoặc $(x; y) = (1; 3)$