11 replies to this topic

[Juliel]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3^x=xy+1$

Câu này trong đề nghị thi Olympic 30-4 năm 2010 THPT Chuyên LQĐ Ninh Thuận, nhưng đáp án đưa ra cũng sai. Theo mình nghĩ thì đề phải sửa thành "Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên", như thế khả thi hơn và không khó. Nhưng mà chỉ là do mình nghĩ thôi, nhờ các bạn giúp.

Edited by Juliel, 01-09-2013 - 14:58.

[LNH]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3^x=xy+1$

Câu này trong đề nghị thi Olympic 30-4 năm 2010 THPT Chuyên LQĐ Ninh Thuận, nhưng đáp án đưa ra cũng sai. Theo mình nghĩ thì đề phải sửa thành "Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên", như thế khả thi hơn và không khó. Nhưng mà chỉ là do mình nghĩ thôi, nhờ các bạn giúp.

$3^x=xy+1$

$\Leftrightarrow \frac{3^x-1}{x}=y$

Giả sử $x$ có chứa ước nguyên tố lẻ. Khi đó $3^x-1$ không chia hết cho $x$

Suy ra $x$ chỉ chứa ước nguyên tố là $2$

Đặt $x=2^a$

Vì $3-1=2$ chia hết cho $2$ nên theo nguyên lý LTE, ta có 

$v_{2}\left ( 3^x-1 \right )=v_{2}\left ( 3-1 \right )+v_{2}\left ( 3+1 \right )+v_{2}\left ( x \right )-1=a+2$

Suy ra $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên

Vậy nghiệm của phương trình là $\left ( 2^a,\frac{3^{2^a}-1}{2^a} \right )$

Edited by lenhathoang1998, 01-09-2013 - 17:15.

[Juliel]

$3^x=xy+1$

$\Leftrightarrow \frac{3^x-1}{x}=y$

Giả sử $x$ có chứa ước nguyên tố lẻ. Khi đó $3^x-1$ không chia hết cho $x$

Suy ra $x$ chỉ chứa ước nguyên tố là $2$

Đặt $x=2^a$

Vì $3-1=2$ chia hết cho $2$ nên theo nguyên lý LTE, ta có 

$v_{2}\left ( 3^x-1 \right )=v_{2}\left ( 3-1 \right )+v_{2}\left ( 3+1 \right )+v_{2}\left ( x \right )-1=a+2$

Suy ra $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên

Vậy nghiệm của phương trình là $\left ( 2^a,\frac{3^{2^a}-1}{2^a} \right )$

$3^x-1$ chẵn không có nghĩa là nó không có ước nguyên tố lẻ.

Nếu bài này mà yêu cầu "Chứng minh phương trình có vô số nghiệm nguyên dương" thì chọn $x=2^a$ như Hoàng rồi chứng minh cho $2^{a}|(3^{2^{a}}-1)$ thì coi như xong, thậm chí không cần dùng $LTE$

Edited by Juliel, 01-09-2013 - 17:26.

[LNH]

$3^x-1$ chẵn không có nghĩa là nó không có ước nguyên tố lẻ.

Nhưng $3^x-1$ không có ước nguyên tố lẻ chung với $x$

[Juliel]

Nhưng $3^x-1$ không có ước nguyên tố lẻ chung với $x$

Chứng minh điều đó.   

[LNH]

Chứng minh điều đó.   

Đó mới là vấn đề thực sự, tớ chỉ dự đoán thôi

[Juliel]

Đó mới là vấn đề thực sự, tớ chỉ dự đoán thôi

Trong đáp án mà tớ đọc được thì nó bảo phương trình chỉ có hai nghiệm nguyên dương $(1;2);(2;4)$. Sách thật là bố láo  . Chắc tự sửa đề thành chứng minh có vô số nghiệm quá !  .

Spam tí

[LNH]

$3^x=xy+1$

$\Leftrightarrow \frac{3^x-1}{x}=y$

Giả sử $x$ có chứa ước nguyên tố lẻ. Khi đó $3^x-1$ không chia hết cho $x$

Suy ra $x$ chỉ chứa ước nguyên tố là $2$

Đặt $x=2^a$

Vì $3-1=2$ chia hết cho $2$ nên theo nguyên lý LTE, ta có 

$v_{2}\left ( 3^x-1 \right )=v_{2}\left ( 3-1 \right )+v_{2}\left ( 3+1 \right )+v_{2}\left ( x \right )-1=a+2$

Suy ra $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên

Vậy nghiệm của phương trình là $\left ( 2^a,\frac{3^{2^a}-1}{2^a} \right )$

 

 

Trong đáp án mà tớ đọc được thì nó bảo phương trình chỉ có hai nghiệm nguyên dương $(1;2);(2;4)$. Sách thật là bố láo  . Chắc tự sửa đề thành chứng minh có vô số nghiệm quá !  .

Spam tí

Sau một hồi tính toán thì dự đoán của tớ đã sai rồi

Đặt $x=p^ak$ với $k$ và $p$ nguyên tố cùng nhau

Khi đó theo Fermat nhỏ ta có: $3^{p^{a}}\equiv 3 \left ( mod p \right )$

$\Rightarrow 3^{x}\equiv 3^k \left ( mod p \right )$

Bây giờ chỉ việc tìm số $k$ để $\Rightarrow 3^k\equiv 1 \left ( mod p \right )$ nữa thôi (và có rất nhiều nghiệm)

Điều này dẫn đến đề phải là: CMR phương trình trên có vô số nghiệm nguyên dương

Cái này thì có thể làm như sau:

Đặt $x=2^a$

Vì $3-1=2$ chia hết cho $2$ nên theo nguyên lý LTE, ta có 

$v_{2}\left ( 3^x-1 \right )=v_{2}\left ( 3-1 \right )+v_{2}\left ( 3+1 \right )+v_{2}\left ( x \right )-1=a+2$

Suy ra $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên

Vậy nghiệm của phương trình là $\left ( 2^a,\frac{3^{2^a}-1}{2^a} \right )$

Suy ra PT có vô số nghiệm nguyên dương

[Juliel]

Sau một hồi tính toán thì dự đoán của tớ đã sai rồi

Đặt $x=p^ak$ với $k$ và $p$ nguyên tố cùng nhau

Khi đó theo Fermat nhỏ ta có: $3^{p^{a}}\equiv 3 \left ( mod p \right )$

$\Rightarrow 3^{x}\equiv 3^k \left ( mod p \right )$

Bây giờ chỉ việc tìm số $k$ để $\Rightarrow 3^k\equiv 1 \left ( mod p \right )$ nữa thôi (và có rất nhiều nghiệm)

Điều này dẫn đến đề phải là: CMR phương trình trên có vô số nghiệm nguyên dương

Cái này thì có thể làm như sau:

Đặt $x=2^a$

Vì $3-1=2$ chia hết cho $2$ nên theo nguyên lý LTE, ta có 

$v_{2}\left ( 3^x-1 \right )=v_{2}\left ( 3-1 \right )+v_{2}\left ( 3+1 \right )+v_{2}\left ( x \right )-1=a+2$

Suy ra $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên

Vậy nghiệm của phương trình là $\left ( 2^a,\frac{3^{2^a}-1}{2^a} \right )$

Suy ra PT có vô số nghiệm nguyên dương

$Fermat$ nhỏ lạ thế nhỉ ? 

Chứng minh $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên với $x=2^a$ thì dùng quy nạp cũng được, còn $LTE$ thì ngắn hơn nhưng cao cấp quá   

Edited by Juliel, 01-09-2013 - 21:40.

[LNH]

$Fermat$ nhỏ lạ thế nhỉ ? 

Chứng minh $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên với $x=2^a$ thì dùng quy nạp cũng được, còn $LTE$ thì ngắn hơn nhưng cao cấp quá 

Thấy cu Jinbe cày LTE trâu quá nên bắt chước

Còn Fermat nhỏ này là Fermat nhỏ tích hợp do tớ chế ra, thực ra từ cái $3^{p}\equiv 3 \left ( modp \right )$ rồi thực hiên $a$ lần là được

[bangbang1412]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3^x=xy+1$

Câu này trong đề nghị thi Olympic 30-4 năm 2010 THPT Chuyên LQĐ Ninh Thuận, nhưng đáp án đưa ra cũng sai. Theo mình nghĩ thì đề phải sửa thành "Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên", như thế khả thi hơn và không khó. Nhưng mà chỉ là do mình nghĩ thôi, nhờ các bạn giúp.

em tưởng là giải chứ đâu bắt chứng minh vô số nghiệm

[LNH]

Sau một hồi tính toán thì dự đoán của tớ đã sai rồi

Đặt $x=p^ak$ với $k$ và $p$ nguyên tố cùng nhau

Khi đó theo Fermat nhỏ ta có: $3^{p^{a}}\equiv 3 \left ( mod p \right )$

$\Rightarrow 3^{x}\equiv 3^k \left ( mod p \right )$

Bây giờ chỉ việc tìm số $k$ để $\Rightarrow 3^k\equiv 1 \left ( mod p \right )$ nữa thôi (và có rất nhiều nghiệm)

Điều này dẫn đến đề phải là: CMR phương trình trên có vô số nghiệm nguyên dương

Cái này thì có thể làm như sau:

Đặt $x=2^a$

Vì $3-1=2$ chia hết cho $2$ nên theo nguyên lý LTE, ta có 

$v_{2}\left ( 3^x-1 \right )=v_{2}\left ( 3-1 \right )+v_{2}\left ( 3+1 \right )+v_{2}\left ( x \right )-1=a+2$

Suy ra $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên

Vậy nghiệm của phương trình là $\left ( 2^a,\frac{3^{2^a}-1}{2^a} \right )$

Suy ra PT có vô số nghiệm nguyên dương

 

 

$Fermat$ nhỏ lạ thế nhỉ ? 

Chứng minh $ \frac{3^x-1}{x}$ nguyên với $x=2^a$ thì dùng quy nạp cũng được, còn $LTE$ thì ngắn hơn nhưng cao cấp quá 

À, mới có một vấn đề mới xảy ra:

Giả sử $x$ chỉ có ước nguyên tố lẻ. Gọi ước nguyên tổ nhỏ nhất là $p$. Đặt $x=p^ak$

Ta có $3^{x}\equiv 3^k \left ( modp \right )$

Mà $3^{p-1}\equiv 1 \left ( modp \right )$

Vậy muốn $3^{k}\equiv 1 \left ( modp \right )$ thì $gcd\left ( k,p-1 \right )>1$(vô lí)

Vậy với $x$ lẻ thì $\frac{3^x-1}{x}$ không nguyên

Điều này CM rằng dự đoán của tớ có khả năng đúng

Xét trường hợp $x$ chẵn...(đang xử lí)