Chào các anh chị, các bạn trong diễn đàn VMF. Hôm nay em post bài này mong các anh chị giải đáp giùm. (em đọc mãi nhưng mà không hiểu tại sao lại thế 
)
VD1. Với $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$
Giải
Ta có
$(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})^{2}-(a^{\frac{4}{3}})^{2}=(a^{\frac{4}{3}}+a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})(b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})$
Suy ra
$(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})^{2}-(a^{\frac{4}{3}})^{2}\geq 8a^{\frac{2}{3}}bc \Leftrightarrow (a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})^{2}\geq a^{\frac{2}{3}}(8bc+a^{2}) \Leftrightarrow a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}\geq a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{8bc+a^{^{2}}} \Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}$
Tương tự
$\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}\geq \frac{b^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}$
$\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq \frac{c^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}}$
Cộng vế với vế của bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh
VD2. Với $a,b,c> 0$,chứng minh rằng
$\frac{b^{4}}{c\sqrt{5a^{6}+4b^{3}c^{3}}}+\frac{c^{4}}{a\sqrt{5b^{6}+4a^{3}c^{3}}}+\frac{a^{4}}{b\sqrt{5c^{6}+4a^{3}b^{3}}}$$\geq 1$
Giải
Ta có
$(a^{5}+b^{5}+c^{5})^{2}-(b^{5}+c^{5})^{2}= a^{5}.\left ( a^{5} +2b^{5}+2c^{5}\right )\geq 5a^{6}b^{2}c^{2}$
Suy ra
$\left ( a^{5}+b^{5}+c^{5} \right )^{2}\geq 5a^{6}b^{2}c^{2}+\left ( b^{5}+c^{5} \right )^{2} \Leftrightarrow \left ( a^{5} +b^{5}+c^{5}\right )^{2}\geq 5a^{6}b^{2}c^{2}+4b^{5}c^{5} \Leftrightarrow \left ( a^{5} +b^{5}+c^{5}\right )^{2}\geq b^{2}c^{2}(5a^{6}+4b^{3}c^{3}) \Leftrightarrow \left ( a^{5}+b^{5}+c^{5} \right )\geq bc\sqrt{5a^{6}+4b^{3}c^{3}} \Leftrightarrow \frac{b^{4}}{c\sqrt{5a^{6}+4b^{3}c^{3}}}\geq \frac{b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{5}}$
Tương tự ta suy ra đpcm
Lời giải thì không có gì phải thắc mắc nhưng dựa vào đâu mà ở VD1 số mũ của các hạng tử trong bất đẳng thức phụ lại là $\frac{4}{3}$ còn ở VD2 lại là 5
Mong các anh chị và các bạn giải thích giùm em ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 02-09-2013 - 06:34
