Chủ đề này có 3 trả lời

[Love XXX]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn đk \[21ab + 2bc + 8ca \le 12\]

, tìm Min \[f = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\]

 

[Near Ryuzaki]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn đk \[21ab + 2bc + 8ca \le 12\]

, tìm Min \[f = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\] 

Đặt $x=\frac{1}{a}$ , $y=\frac{2}{b}$, $z=\frac{3}{c}$ . 

Khi đó điều kiện bài toán trở thành $2xyz \geq 2x+4y+7z$

Ta cần tìm Min của x+y+z 

 =>$z(2xy-7)\geq 2x+4y$

$\Rightarrow 2xy>7$ và $z\geq \frac{2x+4y}{2xy-7}$

Ta có :

x+y+z $\geq x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}$=$x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}$ 

 mà $2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\geq \frac{3+\frac{7}{x}}{2}$

và do đó nên x+y+z $\geq \frac{3}{2}+x+\frac{9}{x}\geq \frac{15}{2}$
dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{3},b=\frac{4}{5},c=\frac{3}{2}$ ( x=3 , y$=\frac{5}{2}$ , z=2)  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 05-09-2013 - 00:36

[Love XXX]

 mà $2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\geq \frac{3+\frac{7}{x}}{2}$

và do đó nên x+y+z $\geq \frac{3}{2}+x+\frac{9}{x}\geq \frac{15}{2}$
 

nói rõ hơn đc ko bạn

[Near Ryuzaki]

Cách khác nè bạn, cách đó hơi khó hiểu :

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn đk \[21ab + 2bc + 8ca \le 12\]

, tìm Min \[f = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}\]

Giống như cách 1,ta sử dụng sự thay thế tương tự và quy bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của x+y +z

khi 2xyz $\geq$ 2x + 4y + 7z. Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :

x+y+z=$\frac{1 }{15}$ ($\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+...+\frac{5}{2}x$+ $3y+3y+...+3y$ +$\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z$ 

                                                (6 số)                                                                 (5 số)                    (4 số)

$\geq (\frac{5x}{2})^{\frac{2}{5}}(3y)^{\frac{1}{3}}(\frac{15z}{4})^{\frac{4}{15}}$

Và cũng có : 

2x+4y+7z= $\frac{1}{15}$ ($10x+10x+...+10x$  + 12y+12y+...+12y +15z+15z+...+15z) 

                                                  (3 số)                              (5 số)                   (7 số) 

$\geq 10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}$

Điều này có nghĩa là :

(x+y+z)$^2$(2x+4x+7z)$\geq \frac{225}{2}xyz$

Vì 2xyz $\geq$ 2x + 4y + 7z nên ta có :

$(x+y+z)^2\geq \frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\geq \frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=3 , y$=\frac{5}{2}$ và z =2

Từ đó suy ra a,b,c được rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 05-09-2013 - 08:06