Chủ đề này có 7 trả lời

[VodichIMO]

 Chứng minh với mọi $a,b,c$ thực:

 $a)$: $a^2$ $+$ $b^2$ $+$ $c^2$ $+$ $2abc$ $+$ $1$ $\geq$ $2(ab+ac+bc)$

 $b)$: $(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)$ $\geq$ $9(ab+ac+bc)$

 

[bangbang1412]

Bài toán $2$ , đặt $t=\frac{b+c}{2}$ , 

ta chứng minh được $(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3+6t^{2}$ ( thôi không post nữa )

Do đó chỉ cần chứng minh $(a^{2}+2)(3+6t^{2})\geq 9(2at+bc)$ 

Hơn nữa $t^{2}\geq bc$ 

Sau khi biến đổi tương đương thì ta có $(a-t)^{2}+(at-1)^{2}\geq 0$ hiển nhiên đúng , đẳng thức xảy ra $<=>a=b=c=1$

[nguyentrungphuc26041999]

 Chứng minh với mọi $a,b,c$ thực:

 $a)$: $a^2$ $+$ $b^2$ $+$ $c^2$ $+$ $2abc$ $+$ $1$ $\geq$ $2(ab+ac+bc)$

 $b)$: $(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)$ $\geq$ $9(ab+ac+bc)$

câu b

ta có $9\left ( ab+bc+ca \right )\leq 3\left ( a+b+c \right )^{2}$

sử dụng bunhiacopxki

$\left ( a+b+c \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+2 \right )\left ( 1+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{2} \right )$

bây giờ ta cần chứng minh

$\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\geq 3\left ( 1+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{2} \right )$

nhân bung ra rồi rút gọn ta có

$\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}c^{2}-3bc+1\geq 0$

ta có

$\frac{b^{2}+c^{2}}{2}\geq bc$

$b^{2}c^{2}-2bc+1= \left ( bc-1 \right )^{2}\geq 0$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 09-09-2013 - 21:11

[bangbang1412]

câu b

ta có $9\left ( ab+bc+ca \right )\leq 3\left ( a+b+c \right )^{2}$

sử dụng bunhiacopxki

$\left ( a+b+c \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+2 \right )\left ( 1+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{2} \right )$

bây giờ ta cần chứng minh

$\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\geq 3\left ( 1+\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{2} \right )$

nhân bung ra rồi rút gọn ta có

$\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+b^{2}c^{2}-3bc+1\geq 0$

ta có

$\frac{b^{2}+c^{2}}{2}\geq bc$

$b^{2}c^{2}-2bc+1= \left ( bc+1 \right )^{2}\geq 0$(đpcm)

Đoạn cuối sai kìa , thế thì $bc=-1$ à

[nguyentrungphuc26041999]

Đoạn cuối sai kìa , thế thì $bc=-1$ à

nhầm,sửa rồi

[Kool LL]

 Chứng minh với mọi $a,b,c$ thực:

$a)$: $a^2$ $+$ $b^2$ $+$ $c^2$ $+$ $2abc$ $+$ $1$ $\geq 2(ab+bc+ca)$

$b)$: $(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)$ $\geq$ $9(ab+ac+bc)$

 

a) Trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$ chắc chắn sẽ phải có 2 số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử $(a-1),(b-1)$ cùng dấu. Khi đó $(a-1)(b-1)\ge0$.

$VT-VP=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\ge0$. (đpcm)

 

b) $VT=a^2b^2c^2+4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8$

$=(a^2b^2c^2+1)+(a^2+b^2+c^2)+1+2[(a^2b^2+1)+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1)]$$+3(a^2+b^2+c^2)$

$\overset{Cauchy}{\ge} 2abc+(a^2+b^2+c^2)+1+4(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)\overset{(a)}{\ge}9(ab+bc+ca)$. (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 09-09-2013 - 23:17

[VodichIMO]

a) Trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$ chắc chắn sẽ phải có 2 số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử $(a-1),(b-1)$ cùng dấu. Khi đó $(a-1)(b-1)\ge0$.

$VT-VP=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\ge0$. (đpcm)

 

 

Sai rồi kìa. c đã cho dương đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VodichIMO: 11-09-2013 - 20:37

[Kool LL]

a) Trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$ chắc chắn sẽ phải có 2 số cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử $(a-1),(b-1)$ cùng dấu. Khi đó $(a-1)(b-1)\ge0$.

$VT-VP=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\ge0$. (đpcm)

 

b) $VT=a^2b^2c^2+4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+8$

$=(a^2b^2c^2+1)+(a^2+b^2+c^2)+1+2[(a^2b^2+1)+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1)]$$+3(a^2+b^2+c^2)$

$\overset{Cauchy}{\ge} 2abc+(a^2+b^2+c^2)+1+4(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)\overset{(a)}{\ge}9(ab+bc+ca)$. (đpcm)

 

 Sai rồi kìa. c đã cho dương đâu.

 

Oh mình sơ suất rồi. Nếu vậy thì BDT câu $a): a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$ không đúng khi $a=b=c=-1$ vì khi đó $VT=2<VP=6$.

Câu $(a)$ muốn đúng thì cần thêm điều kiện $abc\ge0$. Khi đó số số âm không thể là lẻ. Ta có các TH sau :

• Cả 3 số $\ge0$ thì làm như trên.
• Có 2 số âm, một số không âm. Có thể giả sử $a,b\le0\le c$ thì $c(a-1)(b-1)\ge0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 12-09-2013 - 01:51