Bài 5 Đặt 2013 = A ta có $\left\{\begin{matrix} a_{0} = 2\\a_{1} = A \\a_{n} = Aa_{n - 1} - a_{n - 2} \end{matrix}\right.$
Phương trình đặc trưng : $x^{2} - Ax + 1 = 0$
Vì $A^{2} - 4 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm $x_{1} = \frac{A + \sqrt{A^{2} - 4}}{2}$, $x_{2} = \frac{A - \sqrt{A^{2} - 4}}{2}$ và $\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = A\\x_{1}x_{2} = 1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ $a_{n} = \alpha x_{1}^{n} + \beta x_{2}^{n}$ với $\alpha , \beta$ là nghiệm của hệ
$\left\{\begin{matrix} a_{1} = \alpha . \frac{A + \sqrt{A^{2} - 4}}{2} + \beta . \frac{A - \sqrt{A^{2} - 4}}{2} = A\\ a_{0} = \alpha + \beta = 2 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \alpha = \beta = 1$
$\Rightarrow$ Công thức tổng quát của dãy số là $a_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n}$
$\Rightarrow a_{n}.a_{n - 2} + 4 - 2013^{2}$
= $(x_{1}^{n} + x_{2}^{n})(x_{1}^{n - 2} + x_{2}^{n - 2}) + 4 - A^{2}$
= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + x_{1}^{n - 2}x_{2}^{n - 2}.(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 4 - A^{2}$
= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + (x_{1}x_{2})^{n - 2}. ((x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}) + 4 - A^{2}$
= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + 1^{n - 2}. (A^{2} - 2.1) + 4 - A^{2}$
= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + 2$
= $(x_{1}^{n - 1} + x_{2}^{n - 1})^{2}$
= $a_{n - 1}^{2}$
Ta có $a_{0} = 2, a_{1} = 2013, a_{n} = 2013a_{n - 1} - a_{n - 2}$ nên dùng quy nạp chứng minh được $a_{n} \epsilon \mathbb{Z}\forall n$
Đặt m = $\begin{vmatrix} a_{n - 1} \end{vmatrix}$ ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 17-09-2013 - 17:15