Đến nội dung

Hình ảnh

[Topic] về các bất đẳng thức kết hợp cực trị


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 32 trả lời

#1
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

I> Nhắc lại

Cauchy: $\sum_{i=1}^{n>2}a_{i}\geq n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n>2}a_{i}}$

Schwarz: $\sum_{i=1}^{n>2}\frac{a_{i}^2}{b_{i}}\geq \frac{(\sum a_{i})^2}{\sum_{i=1}^{n>2}b_{i}}$

Buhiacopsky: $(ab+cd)^2\leq (a^2+c^2)(b^2+b^2)$

 

II> Bài tập

Bài tập làm quen:

1) Chứng minh $\sum \frac{1}{a}\geq \frac{4}{\sum a}$ với a,b>0

2) Chứng minh $(\sum a)^2\geq 3\sum ab$

 

Bài tập vận dụng (Cẩn thận không hụt đấy)

1) Cho $a,b,c>0$ và $\sum a\leq \frac{3}{2}$. Tìm $ Min S =$$\sum_{cyc}\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}$

2) Cho $a,b,c\geq 0/\sum a^2=1$. Tìm $Min T$$=\sum a+\frac{1}{\prod a}$   (Macedonia 1999)

3) Cho $a\geq 3$. Tìm $min S$$=a+\frac{1}{a}$

 

Mình sẽ post kết quả và bài toán khó hơn vào hôm sau, mong mọi người ủng hộ thật nhiều nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 22-09-2013 - 19:15


#2
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết


 

3) Cho $a\geq 3$. Tìm $min S$$=a+\frac{1}{a}$

 

Mình sẽ post kết quả và bài toán khó hơn vào hôm sau, mong mọi người ủng hộ thật nhiều nhé

Bài 3 :

$S=a+\frac{1}{a}=(\frac{1}{9}a+\frac{1}{a})+\frac{8}{9}a\geq \frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

$MinS=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 22-09-2013 - 19:24

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#3
badboykmhd123456

badboykmhd123456

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết


I> Nhắc lại

Cauchy: $\sum_{i=1}^{n>2}a_{i}\geq n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n>2}a_{i}}$

Schwarz: $\sum_{i=1}^{n>2}\frac{a_{i}^2}{b_{i}}\geq \frac{(\sum a_{i})^2}{\sum_{i=1}^{n>2}b_{i}}$

Buhiacopsky: $(ab+cd)^2\leq (a^2+c^2)(b^2+b^2)$

 

II> Bài tập

Bài tập làm quen:

1) Chứng minh $\sum \frac{1}{a}\geq \frac{4}{\sum a}$ với a,b>0

2) Chứng minh $\sum a^2\geq 3\sum ab$

 

Bài tập vận dụng (Cẩn thận không hụt đấy)

1) Cho $a,b,c>0$ và $\sum a\leq \frac{3}{2}$. Tìm $ Min S =$$\sum_{cyc}\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}$

2) Cho $a,b,c\geq 0/\sum a^2=1$. Tìm $Min T$$=\sum a+\frac{1}{\prod a}$   (Macedonia 1999)

3) Cho $a\geq 3$. Tìm $min S$$=a+\frac{1}{a}$

 

Mình sẽ post kết quả và bài toán khó hơn vào hôm sau, mong mọi người ủng hộ thật nhiều nhé

yếu bất đẳng thức nên chỉ dám làm vài bài đơn giản

bài 1( vận dụng)

Áp dụng mincopxki ta có :$S \geq \sqrt{(a+b+c)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2} \geq \sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}} =\sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{16(a+b+c)^2}+\frac{1215}{16(a+b+c)^2}} \geq sqrt{\frac{9}{2}+\frac{1215}{16.(\frac{3}{2})^2}} =\frac{3\sqrt{17}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi badboykmhd123456: 22-09-2013 - 19:29


#4
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Bài giải: (Làm từ từ để các bạn hiểu)

Đây là cách làm cauchy điểm rơi nhé:

Sai lầm thường gặp là: $S=a+\frac{1}{a}\geq 2\rightarrow MinS=2$ vì $a=\frac{1}{a}=1$ mâu thuẫn giả thuyết $a\geq 3$

Sơ đồ điểm rơi:

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $a = 3$ $\rightarrow \frac{a}{\alpha }=\frac{3}{\alpha }\wedge \frac{1}{a}=\frac{1}{3}\rightarrow \frac{1}{3}=\frac{3}{\alpha }$ suy ra hệ số điểm rơi là $\alpha =9$

Ta có lời giải đúng: $S=a+\frac{1}=(\frac{a}{9}+\frac{1}{a})+\frac{8a}{9}\geq \frac{10}{3}$

Vậy $Min =\frac{10}{3}$

Bạn letankhang đã giải đúng ;), tặng bạn 1 like



#5
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

bạn 

    badboykmhd123456

bạn đã kiểm tra dấu bằng xảy ra chưa vậy, vì đáp án là $\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Mình sẽ post lời giải sau

Bạn kiểm tra đi, bài đó xài cauchy điểm rơi thôi, chưa đến buhiacopsky đâu



#6
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Lời giải bài 1 của vận dụng đây:

Như bài mẫu, đoán hệ số điểm rơi sẽ là $\alpha =16$

Lời giải:

$S=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{16b^2}+...+\frac{1}{16b^2}}$

$\geq \sqrt{17\sqrt[17]{a^2.(\frac{1}{16b^2})^{16}}}$

$=\sqrt{17.\sqrt[17]{\frac{a}{16^8.b^{16}}}}$

$\geq 3\sqrt{17}[\sqrt[17]{\frac{1}{16^8a^5b^5c^5}}]$

$=\frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{\frac{(2\sum a)^2}{3^2}}}$

$\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

Với $a=b=c=\frac{1}{2}\rightarrow MinS=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Hơi dài, cố gắng đọc tại bài này khá khó :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 22-09-2013 - 19:51


#7
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Bài toán tổng quát , cho $a\geq n$ với $n$ là một số tự nhiên . Tìm $minA=a+\frac{1}{a}$

Nhận xét , cho $a$ thành $a+d$ trong đó $d$ là một số thực nào đó , có thể thấy $\frac{1}{a}$ giảm và $a$ tăng nhưng $a$ tăng nhanh hơn $\frac{1}{a}$ . Từ đó cho phép dự đoán dấu bằng xảy ra ở $a=n$ , ta tiến hành $AM-GM$ như sau :

$a+\frac{1}{a}=\frac{a}{n^{2}}+a(1-\frac{1}{n^{2}})+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{n}+a(1-\frac{1}{n^{2}})\geq \frac{2}{n}+n-\frac{1}{n}=n+\frac{1}{n}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=n$ với $n$ cho trước 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#8
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

I> Nhắc lại

Cauchy: $\sum_{i=1}^{n>2}a_{i}\geq n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n>2}a_{i}}$

Schwarz: $\sum_{i=1}^{n>2}\frac{a_{i}^2}{b_{i}}\geq \frac{(\sum a_{i})^2}{\sum_{i=1}^{n>2}b_{i}}$

Buhiacopsky: $(ab+cd)^2\leq (a^2+c^2)(b^2+b^2)$

 

II> Bài tập

Bài tập làm quen:

1) Chứng minh $\sum \frac{1}{a}\geq \frac{4}{\sum a}$ với a,b>0

2) Chứng minh $(\sum a)^2\geq 3\sum ab$

 

Bài tập vận dụng (Cẩn thận không hụt đấy)

1) Cho $a,b,c>0$ và $\sum a\leq \frac{3}{2}$. Tìm $ Min S =$$\sum_{cyc}\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}$

2) Cho $a,b,c\geq 0/\sum a^2=1$. Tìm $Min T$$=\sum a+\frac{1}{\prod a}$   (Macedonia 1999)

3) Cho $a\geq 3$. Tìm $min S$$=a+\frac{1}{a}$

 

Mình sẽ post kết quả và bài toán khó hơn vào hôm sau, mong mọi người ủng hộ thật nhiều nhé

Ta có $S=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}\geq \sqrt{(\sum a)^{2}+(\sum \frac{1}{a})^{2}}\geq \sqrt{(\sum a)^{2}+\frac{81}{(\sum a)^{2}}}$

Đặt $a+b+c=t\leq \frac{3}{2}$

Xét hàm số $f(t)=t^{2}+\frac{81}{t^{2}}$ có $f'(t)=2t-\frac{81}{t^{4}}<0$ 

Do $t\leq \frac{3}{2}$ nên $2t\leq 3$ và $t^{4}\leq \frac{81}{16}$

Vì vậy hàm nghịch biến , đạt cực trị tại $f(\frac{3}{2})$


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#9
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Anh bangbang à, Không đạo hàm, không hàm số, chỉ từ bất đẳng thức trở xuống, đạo hàm nói làm gì nữa ;)

bài giải em post ở trên, tham khảo đi nhé :)

Hàm nghịch biến đồng biến không được :D

Sử dụng 3 bdt cơ bản đó là chính



#10
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Anh bangbang à, Không đạo hàm, không hàm số, chỉ từ bất đẳng thức trở xuống, đạo hàm nói làm gì nữa ;)

bài giải em post ở trên, tham khảo đi nhé :)

Hàm nghịch biến đồng biến không được :D

Sử dụng 3 bdt cơ bản đó là chính

Tiếp đi bạn ơi!!! mà mấy bài bên trên giống trong sách BĐT của anh Võ Quốc Bá Cẩn quá :D


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#11
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Giữ hẹn, mình xin post bài mới vào đây:

Gợi ý xài Cauchy-Schwarz dạng Engel

Đề: Chưng minh $\sum_{cyc} \frac{a^3}{bc}\geq \sum a$ với $a,b,c>0$

                                                          _______Canado MO 2002_____________



#12
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Không phải của Võ Bá Cẩn bạn à, đây là tổng hợp từ trước tới giờ trong đống tài liệu bdt của mình đó :)

Bài tiếp theo ( bài này xả stress thôi)

Tìm max và min của $A=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}$

Chỉ được xài 3 bdt trên và biến đổi tương đương :excl:



#13
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Giữ hẹn, mình xin post bài mới vào đây:

Gợi ý xài Cauchy-Schwarz dạng Engel

Đề: Chưng minh $\sum_{cyc} \frac{a^3}{bc}\geq \sum a$ với $a,b,c>0$

                                                          _______Canado MO 2002_____________

$VT \geq \frac{\left ( a^2+b^2+c^2 \right )^2}{3abc}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^4}{\left ( a+b+c \right )^3}=a+b+c$



#14
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Giữ hẹn, mình xin post bài mới vào đây:

Gợi ý xài Cauchy-Schwarz dạng Engel

Đề: Chưng minh $\sum_{cyc} \frac{a^3}{bc}\geq \sum a$ với $a,b,c>0$

                                                          _______Canado MO 2002_____________

Có $\sum \frac{a^3}{bc}+b+c \geq \sum 3a \rightarrow \sum \frac{a^3}{bc}\geq \sum a$


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#15
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Anh lenhathoang1998 làm đúng rồi

Cách giải:

Áp dụng AM-GM ta có:

$\sum \frac{a^3}{bc}+2\sum a=\sum_{cyc} (\frac{a^3}{bc}+b+c)\geq \sum_{cyc}3.\sqrt[3]{\frac{a^3}{bc}.b.c}=3\sum a\rightarrow \sum \frac{a^3}{bc}\geq \sum a$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c>0$


 

Anh lenhathoang1998 lần sau nhớ ghi giùm lúc dấu bằng xảy ra nhé :). Cả deathavaiable cũng đúng mà quên không kiểm tra dấu bằng hì hì ;)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 22-09-2013 - 20:21


#16
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Không phải của Võ Bá Cẩn bạn à, đây là tổng hợp từ trước tới giờ trong đống tài liệu bdt của mình đó :)

Bài tiếp theo ( bài này xả stress thôi)

Tìm max và min của $A=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}$

Chỉ được xài 3 bdt trên và biến đổi tương đương :excl:

Điều kiện: $1\leq x\leq 5$

 

Áp dụng BĐT CauChy - Swarch  có $A^{2}=\left ( 3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x} \right )^{2}\leq \left ( 3^{2}+4^{2} \right )\left ( x-1+5-x \right )= 100 \Rightarrow -10\leq A\leq 10$. Suy ra Max A=10 khi $x=\frac{61}{25}$

 

 

PS: làm vội thấy số lẻ nên không biết đúng không :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 22-09-2013 - 20:28

Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#17
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

Các bạn post từ từ để mình còn ra đề và đáp án nữa :(, nhanh vầy ai đua kịp :))

Đáp án:

Áp dụng buhicopsky ta có; $A^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)=25.4=100$ $\rightarrow A\geq 10$(Max đây)

Áp dụng cauchy ta có: $A\geq 3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})\geq 3.\frac{x-1+5-x}{2}=3.\frac{4}{2}=6$ (min đây)

Đề thì để mình suy nghĩ đã rồi sẽ post sau, chờ mình 10 ;)

Mình lười nhìn bạn làm quá, bạn tự nhìn rồi check lại đi deathavailable nha, mình đang nghĩ đề nên tý sẽ coi sau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 22-09-2013 - 20:28


#18
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

à, đề đây rồi, kiếm mãi mới ra:

Cho $a,b,c,d,e>0$ thoả $\sum \frac{1}{4+a}=1$. Chứng minh: $\sum _{cyc} \frac{a}{4+a^2}\leq 1$

                                                  _______CWMO 2005________

Riêng bài này gợi ý các bạn sử dụng bdt chebyshev và AM-Gm nhé :)



#19
deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Các bạn post từ từ để mình còn ra đề và đáp án nữa :(, nhanh vầy ai đua kịp :))

Đáp án:

Áp dụng buhicopsky ta có; $A^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)=25.4=100$ $\rightarrow A\geq 10$(Max đây)

Áp dụng cauchy ta có: $A\geq 3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})\geq 3.\frac{x-1+5-x}{2}=3.\frac{4}{2}=6$ (min đây)

Đề thì để mình suy nghĩ đã rồi sẽ post sau, chờ mình 10 ;)

Mình lười nhìn bạn làm quá, bạn tự nhìn rồi check lại đi deathavailable nha, mình đang nghĩ đề nên tý sẽ coi sau

Mình làm nhầm phần tìm min @@


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#20
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

ờ không sao, bài đó trong đội tuyển hì hì, thôi kệ làm bài mới nhất đi

Bài tiếp theo đây:

Chứng minh $\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{a}{a+b}$ với $a,b,c <1$

mình không nhớ là ngược lại hay sao ý, check giùm nha

Mình mất đáp án rồi, làm được thì thanks vì mất đáp án r hì hì






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh