cho a,b,c>0 chứng minh
$(\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$
cho a,b,c>0 chứng minh
$(\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$
Nhân ra ta có :$A=\frac{64abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1+\frac{16ab}{(b+c)(c+a)}+\frac{16bc}{(b+a)(c+a)}+\frac{16ac}{(a+b)(a+c)}+4.(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c})=4.(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c})+\frac{64abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{16ab(a+b)+16bc(b+c)+16ac(a+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1=4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+\frac{64abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{16(a+b)(b+c)(c+a)-32abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1=4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+\frac{32abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+17=4\left [\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \right ]+\frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+17\geq 4.2+17+\frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=25+\frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}> 25$
( Do áp dụng bđt Schur mở rộng là :$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 24-09-2013 - 16:18
Mình xin đóng góp 1 cách mong các bạn xem xét dùm !
không mất tính tổng quát giả sử $a\leqslant b\leqslant c$
đặt
x=a+b+c
y=ab+bc+ac
z=abc
ta có bđt thức đầu tiên sẽ tương đương với
$(x+3a)(x+3b)(x+3c)> 25(x-a)(x-b)(x-c)$
$\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}(a+b+c)+9x(ab+bc+ac)+27abc> 25(x^{3}-x^{2}(a+b+c)+x(ab+bc+ac)-abc)$
$\Leftrightarrow x^{3}-4xy+13z> 0$ (1)
đặt S=VT
ta có
S=$(a+b+c)^{3}-4(a+b+c)(ab+bc+ac)+13abc=(a+b+c)((a+b+c)^{2}-4(ab+bc+ac))+13abc=(a+b+c)((a+b-c)^{2}-4ab)+13abc= (a+b+c)(a+b-c)^{2}+ab(9c-4b-4c)$
vậy (1) tương đương với
$(a+b+c)(a+b-c)^{2}+ab(9c-4b-4c)> 0$
do $0< a\leqslant b\leqslant c$
nên bđt trên hiển nhiên đúng
vậy được đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 24-09-2013 - 22:24
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
P=$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+4}+\frac{1}{c^{2}+9}$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 03-09-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
SP,SQ là phân giác của $\angle ASB $ , $\angle ASC$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 31-08-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
$\angle CDQ=\angle BDP$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 26-08-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
sách số học của Nguyễn Vũ ThanhBắt đầu bởi hoctrocuanewton, 26-08-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$2x^{2}+4=5\sqrt{x^{3}+1}$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 20-08-2013 haruto |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh