Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn: x+y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$
p/s: Chú ý tới dấu "=" xảy ra.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 04-07-2016 - 23:16
Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn: x+y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$
p/s: Chú ý tới dấu "=" xảy ra.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 04-07-2016 - 23:16
$=\frac{1}{x^2+y^2+xy}+\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2-x^2y^2}=\frac{1}{xy(1-xy)}$
Đến đây bạn có thể tự giải tiếp rồi
Thay $1=(x+y)^3$ vào biểu thức A ta có :
A=$\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3}+\frac{(x+y)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{xy}=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y3}{xy}=4+(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy})\geq 4+2\sqrt{\frac{3xy(x^3+y^3)}{xy(x^3+y^3)}}=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2$
(do x+y=1 và áp dụng bdt cosi cho 2 số dương)
$= > A$ Min=$(\sqrt{3}+1)^2$ khi $\frac{3xy}{x^3+y^3}=\frac{x^3+y^3}{xy}< = > x^3+y^3=xy\sqrt{3}< = > (x+y)(x^2-xy+y^2)=xy\sqrt{3}< = > x^2+y^2-xy(\sqrt{3}+1)=0$ và x+y=1.
Đến đây thay x=1-y vào pt trên ta có :$y^2(3+\sqrt{3})-y(3+\sqrt{3})+1=0$ có $\Delta =(3+\sqrt{3})^2-4(3+\sqrt{3})=2\sqrt{3}= > \sqrt{\Delta }=\sqrt{2\sqrt{3}}= > y=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}= > x=1-y=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}$
Ta phân tích
$x^{3}+y^{3}= (x+y)((x+y)^{2}-3xy)= 1-3xy A= \frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
$\frac{1^{2}}{1-3xy}+\frac{1^{2}}{xy} \geq \frac{4}{1-2xy}$
mà áp dụng bđt cosi ta lai có
$2xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$
$=> A \geq \frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$
Dấu bằng xảy ra <=> x=y=1/2
cái chỗ 2xy$\leq \frac{1}{2}= > 1-2xy\geq \frac{1}{2}= > \frac{4}{1-2xy}\leq 8$ chứ,Bạn bị ngược dấu rồi
Ta phân tích
$x^{3}+y^{3}= (x+y)((x+y)^{2}-3xy)= 1-3xy A= \frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
$\frac{1^{2}}{1-3xy}+\frac{1^{2}}{xy} \geq \frac{4}{1-2xy}$
mà áp dụng bđt cosi ta lai có
$2xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$
$=> A \geq \frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$
Dấu bằng xảy ra <=> x=y=1/2
Chỗ này sai thì phải...??
$=\frac{1}{x^2+y^2+xy}+\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2-x^2y^2}=\frac{1}{xy(1-xy)}$
Đến đây bạn có thể tự giải tiếp rồi
[hide] Nếu có sai sót thì hãy sửa cho mình nha
$x^{3}+y^{3}=x^{2}-xy+y^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 04-07-2016 - 19:54
Mọi người lm hộ mk bài nay vs!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Giả sử x, y là các số thực dương thoả mãn $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$
Tìm min: $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 15-03-2017 - 21:49
Alpha $\alpha$
Mọi người lm hộ mk bài nay vs!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Giả sử x, y là các số thực dương thoả mãn $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$
Tìm min: $\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}$
Ta có $A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y$
Mặt khác $x+y\geq 2\sqrt{xy},,,x+1\geq 2\sqrt{x},,,y+1\geq 2\sqrt{y}\Rightarrow x+y\geq \sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\geq 2$
Do đó minA =2 khi x=y=1
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Thay $1=(x+y)^3$ vào biểu thức A ta có :
A=$\frac{(x+y)^3}{x^3+y^3}+\frac{(x+y)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{xy}=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y3}{xy}=4+(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy})\geq 4+2\sqrt{\frac{3xy(x^3+y^3)}{xy(x^3+y^3)}}=4+2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2$
(do x+y=1 và áp dụng bdt cosi cho 2 số dương)
$= > A$ Min=$(\sqrt{3}+1)^2$ khi $\frac{3xy}{x^3+y^3}=\frac{x^3+y^3}{xy}< = > x^3+y^3=xy\sqrt{3}< = > (x+y)(x^2-xy+y^2)=xy\sqrt{3}< = > x^2+y^2-xy(\sqrt{3}+1)=0$ và x+y=1.
Đến đây thay x=1-y vào pt trên ta có :$y^2(3+\sqrt{3})-y(3+\sqrt{3})+1=0$ có $\Delta =(3+\sqrt{3})^2-4(3+\sqrt{3})=2\sqrt{3}= > \sqrt{\Delta }=\sqrt{2\sqrt{3}}= > y=\frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}= > x=1-y=\frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{2\sqrt{3}}}{2(3+\sqrt{3})}$
Cách này hay nhưng hơi khó hiểu!
Ta có $A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y$
Mặt khác $x+y\geq 2\sqrt{xy},,,x+1\geq 2\sqrt{x},,,y+1\geq 2\sqrt{y}\Rightarrow x+y\geq \sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\geq 2$
Do đó minA =2 khi x=y=1
???
???
Mình dùng AM-GM rồi cộng vế theo vế ,,,sau đó dùng dữ kiện đề bài thôi mà !!!
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Em xin đóng góp ý kiến luôn:
$x^{3}+y^{3}=(x+y)((x+y)^2-3xy)= 1-3xy$
$\Rightarrow A=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
$=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}$
$\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}$
$=4+2\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow xy=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$
Em xin đóng góp ý kiến luôn:
$x^{3}+y^{3}=(x+y)((x+y)^2-3xy)= 1-3xy$
$\Rightarrow A=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
$=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}$
$\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}$
$=4+2\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow xy=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$
Bạn đã tìm x,y cụ thể và thay vào điều kiện chưa?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 30-01-2018 - 20:59
Với tổng và tích như thế thì bạn có pt bậc 2 2 nghiệm dương phân biệt(dễ dàng chứng minh)
uh, nếu vậy thì bạn chuẩn rùi.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh