Chủ đề này có 4 trả lời

[Gioi han]

Cho hình thang ABCD biết $AD=3BC,AB$ đi qua điểm $M(-12;0), C(2 ; -5),AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB, AD$ biết diện tích ABCD là $50, AB$ không song song với $Ox,Oy$

[Tran Nho Duc]

Cho hình thang ABCD biết $AD=3BC,AB$ đi qua điểm $M(-12;0), C(2 ; -5),AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB, AD$ biết diện tích ABCD là $50, AB$ không song song với $Ox,Oy$

Không cho biết hình thang có hai cạnh nào song song hả bạn ?

[chanhquocnghiem]

Cho hình thang ABCD biết $AD=3BC,AB$ đi qua điểm $M(-12;0), C(2 ; -5),AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB, AD$ biết diện tích ABCD là $50, AB$ không song song với $Ox,Oy$

Đề bài cần bổ sung thêm dữ kiện : $AD//BC$.

(Cho dù đã bổ sung thêm dữ kiện trên, bài toán vẫn có vô số đáp án)

 

Đặt $x_{A}=p$ ; $y_{A}=q$ suy ra :

$AB:qx-(p+12)y+12q=0$ (1)

$AD:(5-q)x+(p+3)y-5p-3q=0$ (2)

$BC:(5-q)x+(p+3)y+5p+2q+5=0$ (3)

(1),(3) $\Rightarrow x_{B}=-\frac{5p^2+14pq+65p+60q+60}{5p-9q+60}$ ; $y_{B}=-\frac{5pq+14q^2-55q}{5p-9q+60}$

$x_{C}-x_{B}=\frac{5p^2+14pq+75p+42q+180}{5p-9q+60}=\left ( p+3 \right )\left ( \frac{5p+14q+60}{5p-9q+60} \right )$

$y_{C}-y_{B}=\frac{5pq+14q^2-25p-10q-300}{5p-9q+60}=\left ( q-5 \right )\left ( \frac{5p+14q+60}{5p-9q+60} \right )$

$\Rightarrow BC=\sqrt{(p+3)^2+(q-5)^2}.\left | \frac{5p+14q+60}{5p-9q+60} \right |$ (4)

$d(C,AD)=\frac{\left | -10p-5q-5 \right |}{\sqrt{(p+3)^2+(q-5)^2}}$ (5)

$S_{ABCD}=\frac{(BC+AD).d(C,AD)}{2}=2BC.d(C,AD)=\left | -20p-10q-10 \right |.\left | \frac{5p+14q+60}{5p-9q+60} \right |=50$

$\Rightarrow \left | (2p+q+1)(5p+14q+60) \right |=\left | 25p-45q+300 \right |$

$\Rightarrow 10p^2+(33q+100)p+14q^2+119q-240=0$ (6)

hoặc $10p^2+(33q+150)p+14q^2+29q+360=0$ (7)

Đến đây có thể thấy bài toán có vô số đáp án.

Thật vậy, chỉ cần xét TH $q\in \left [ 3;5 \right ]$ :

Trên đoạn đó, các pt (6) và (7) có dạng $Ep^2+Fp+G=0$ với $E=10$ ; $F\geqslant 199$ ; $G\leqslant 855$ nên chúng đều có 2 nghiệm phân biệt.Vậy nếu chọn $q\in \left [ 3;5 \right ]$ thì luôn tìm được $p$ thích hợp thỏa mãn (6) và (7), tức là có vô số điểm $A$ thỏa mãn bài toán.

 

Thử xét 1 TH cụ thể : $q=5$

(6) ---> $10p^2+265p+705=0$ ---> $p=-3$ ; $p=-\frac{47}{2}$

(7) ---> $10p^2+315p+855=0$ ---> $p=-3$ ; $p=-\frac{57}{2}$

Vậy tìm được 3 điểm : $A_{1}\left ( -\frac{47}{2};5 \right )$ ; $A_{2}\left ( -\frac{57}{2};5 \right )$ ; $A_{3}\left ( -3;5 \right )$ (trùng với $N$)

+ Với điểm $A_{1}$ ta có :

   $AB:10x+23y+120=0$

   $AD:y-5=0$

+ Với điểm $A_{2}$ ta có :

   $AB:10x+33y+120=0$

   $AD:y-5=0$

+ Với điểm $A_{3}$ ta có :

   $AB:5x-9y+60=0$

   Để tìm pt của $AD$, ta cần tìm tọa độ của $B$

   Đặt $x_{B}=r$ ---> $y_{B}=\frac{5r+60}{9}$ (vì $B\in AM:5x-9y+60=0$)

   $BC=\sqrt{\left ( r-2 \right )^2+\left ( \frac{5r+105}{9} \right )^2}$

   $BC:\left ( \frac{5r+105}{9} \right )x+\left ( 2-r \right )y-\frac{55r+120}{9}=0$

   $d(A,BC)=\frac{\left | -\frac{5r+105}{3}+10-5r-\frac{55r+120}{9} \right |}{\sqrt{(r-2)^2+\left ( \frac{5r+105}{9} \right )^2}}=\frac{\left | -115r-345 \right |}{9\sqrt{\left ( r-2 \right )^2+\left ( \frac{5r+105}{9} \right )^2}}$

   $S_{ABCD}=\left | \frac{230r+690}{9} \right |=50\Rightarrow r=-\frac{24}{23}$ ; $r=-\frac{114}{23}$

   Vậy có 2 điểm $B_{1}\left ( -\frac{24}{23};\frac{140}{23} \right )$ và $B_{2}\left ( -\frac{114}{23};\frac{90}{23} \right )$

  - Với điểm $B_{1}$, ta có $AD:51x+14y+83=0$

  - Với điểm $B_{2}$, ta có $AD:41x+32y-37=0$

 

Tóm lại, các đáp án là :

$\left\{\begin{matrix}AB:10x+23y+120=0\\AD:y-5=0 \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}AB:10x+33y+120=0\\AD:y-5=0 \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}AB:5x-9y+60=0\\AD:51x+14y+83=0 \end{matrix}\right.$

 

$\left\{\begin{matrix}AB:5x-9y+60=0\\AD:41x+32y-37=0 \end{matrix}\right.$

 

               (và còn vô số đáp án khác)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 21-04-2015 - 15:36

[catbuilts]

Không cho biết hình thang có hai cạnh nào song song hả bạn ?

 

[phan huong]

Cho hình thang ABCD biết $AD=3BC,AB$ đi qua điểm $M(-12;0), C(2 ; -5),AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB, AD$ biết diện tích ABCD là $50, AB$ không song song với $Ox,Oy$

Vì bài toán cho AB không song song với Ox, Oy nên ta có thể sử dụng phương trình đường thẳng  với hệ số góc như vậy bài tóan sẽ gọn hơn phải không ạ?