18 replies to this topic

[tthandb]

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện $ab=1$ .CMR:

 

$(a+b+1)(a^{2}+b^2)+\frac{4}{a+b}\geq 8$

Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Gọi P là nửa chu vi tam giác đó. CMR:

 

$(p-a)(p-b)(p-c)\leq \frac{1}{8}abc$

 

Bài 3: Cho  $x\geq 3,y\geq 2,z\geq 1$ . CMR:

 

$\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yx\sqrt{x-3}}{xyz}\leq \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}$

 

Bài 4: Cho a,b là các số thực dương. CMR:

 

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

Bài 5: CMR với mọi x,y,z ta có:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

 

Bài 6: Cho thỏa mãn abc = 1. CMR:

 

$\frac{a^{3}}{(1+a)\left ( 1+b \right )}+\frac{b^{3}}{(1+b)\left ( 1+c \right )}+\frac{c^{3}}{(1+c)\left ( 1+a \right )}\geq \frac{3}{4}$

 

Bài 7: Cho 3 số thực không âm a,b,c. CMR:

 

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )$

 

Bài 8: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$ . CMR:

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

Edited by tthandb, 15-10-2013 - 22:06.

[nghiemthanhbach]

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện $ab=1$ .CMR:

 

$(a+b+1)(a^{2}+b^2)+\frac{4}{a+b}\geq 8$

Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Gọi P là nửa chu vi tam giác đó. CMR:

 

$(p-a)(p-b)(p-c)\leq \frac{1}{8}abc$

 

Bài 3: Cho  $x\geq 3,y\geq 2,z\geq 1$ . CMR:

 

$\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yx\sqrt{x-3}}{xyz}\leq \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}$

 

Bài 4: Cho a,b là các số thực dương. CMR:

 

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

Bài 5: CMR với mọi x,y,z ta có:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

 

Bài 6: Cho thỏa mãn abc = 1. CMR:

 

$\frac{a^{3}}{(1+a)\left ( 1+b \right )}+\frac{b^{3}}{(1+b)\left ( 1+c \right )}+\frac{c^{3}}{(1+c)\left ( 1+a \right )}\geq \frac{3}{4}$

 

Bài 7: Cho 3 số thực không âm a,b,c. CMR:

 

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )$

 

Bài 8: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$ . CMR:

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

bài 8 câu đầu tiên xem tại đây: http://diendantoanho...racc2c2a2geq-1/

 

Sử dụng cauchy nhé

[nghiemthanhbach]

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện $ab=1$ .CMR:

 

$(a+b+1)(a^{2}+b^2)+\frac{4}{a+b}\geq 8$

Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Gọi P là nửa chu vi tam giác đó. CMR:

 

$(p-a)(p-b)(p-c)\leq \frac{1}{8}abc$

 

Bài 3: Cho  $x\geq 3,y\geq 2,z\geq 1$ . CMR:

 

$\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yx\sqrt{x-3}}{xyz}\leq \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}$

 

Bài 4: Cho a,b là các số thực dương. CMR:

 

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

Bài 5: CMR với mọi x,y,z ta có:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

 

Bài 6: Cho thỏa mãn abc = 1. CMR:

 

$\frac{a^{3}}{(1+a)\left ( 1+b \right )}+\frac{b^{3}}{(1+b)\left ( 1+c \right )}+\frac{c^{3}}{(1+c)\left ( 1+a \right )}\geq \frac{3}{4}$

 

Bài 7: Cho 3 số thực không âm a,b,c. CMR:

 

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )$

 

Bài 8: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$ . CMR:

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

bài 2 đã xuất hiện tại đây: http://diendantoanho...cleq-frac18abc/

[Johan Liebert]

Bài 3:

 

$\dfrac{\sqrt{z-1}}{z}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{x-3}}{x}$

 

$=\dfrac{\sqrt{z-1}}{z-1+1}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y-2+2}+\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-3+3}$

 

$\leq \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

Edited by Johan Liebert, 15-10-2013 - 22:26.

[nghiemthanhbach]

Bài 3:

 

$\dfrac{\sqrt{z-1}}{z}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{x-3}}{x}$

 

$=\dfrac{\sqrt{z-1}}{z-1+1}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y-2+2}+\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-3+3}$

 

$\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

 

Bài 3:

 

$\dfrac{\sqrt{z-1}}{z}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{x-3}}{x}$

 

$=\dfrac{\sqrt{z-1}}{z-1+1}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y-2+2}+\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-3+3}$

 

$\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

Hoặc có thể cách như sau cũng bằng cauchy ngược

$\frac{\sqrt{z-1}}{z}=\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}\leq \frac{z-1+1}{2z}=\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{2\sqrt{2(y-2)}}{2y\sqrt{2}}\leq \frac{y-2+2}{2y\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{x-3}}{x}=\frac{2\sqrt{3(x-3)}}{2x\sqrt{3}}=\frac{3+x-3}{2x\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Xong Công lại là ra   

Edited by nghiemthanhbach, 15-10-2013 - 22:29.

[Johan Liebert]

Bài 5:

 

$(\sqrt{2}(xy+yz))^2=4(x.\dfrac{y}{\sqrt{2}}+\dfrac{y}{\sqrt{2}}.z)^2 \leq 4(x^2+z^2)y^2$

 

$ \leq (x^2+y^2+z^2)^2 $

Edited by Johan Liebert, 15-10-2013 - 22:34.

[neversaynever99]

Bài 6: Cho thỏa mãn abc = 1. CMR:

 

A=$\frac{a^{3}}{(1+a)\left ( 1+b \right )}+\frac{b^{3}}{(1+b)\left ( 1+c \right )}+\frac{c^{3}}{(1+c)\left ( 1+a \right )}\geq \frac{3}{4}$

 

Ta có 

$\frac{a^{3}}{(1+a)(1+b)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\geq \frac{3a}{4}$            (1)

Tương tự ta có 

$\frac{b^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3b}{4}$             (2)

$\frac{c^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{1+c}{8}+\frac{1+a}{8}\geq \frac{3c}{4}$               (3)

Cộng theo vế của (1),(2),(3), ta được

$A\geq \frac{3}{4}(a+b+c)-\frac{a+b+c+3}{4}= \frac{2(a+b+c)-3}{4}\geq \frac{2.3\sqrt[3]{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}$ 

[neversaynever99]

Bài 8:

 

 

 

Bài 8: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$ . CMR:

 

B=$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

Ta có 

$\frac{a}{a+2b^{2}}=a-\frac{2ab^{2}}{a+2b^{2}}\geq \frac{2ab^{2}}{3\sqrt[3]{ab^{4}}}=a-\frac{2}{3}(ab)^{\frac{2}{3}}$      (1)

Tương tự 

$\frac{b}{b+2c^{2}}=b-\frac{2bc^{2}}{b+2c^{2}}\geq \frac{2bc^{2}}{3\sqrt[3]{bc^{4}}}=b-\frac{2}{3}(bc)^{\frac{2}{3}}$        (2)

$\frac{c}{c+2a^{2}}=c-\frac{2ca^{2}}{c+2a^{2}}\geq \frac{2ca^{2}}{3\sqrt[3]{ca^{4}}}=c-\frac{2}{3}(ac)^{\frac{2}{3}}$          (3)

Cộng theo vế của (1),(2),(3) ta được

$B\geq a+b+c-$\frac{2}{3}$((ab)^{\frac{2}{3}}+(bc)^{\frac{2}{3}}+(ca)^{\frac{2}{3}})=3- $\frac{2}{3}$((ab)^{\frac{2}{3}}+(bc)^{\frac{2}{3}}+(ca)^{\frac{2}{3}}$)

Như vậy ta chỉ cần chứng minh

$(ab)^{\frac{2}{3}}+(bc)^{\frac{2}{3}}+(ca)^{\frac{2}{3}}\leq 3$

Thật vậy 

$(ab)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}=\sqrt[3]{a.ab.b}\leq \frac{a+ab+b}{3}$     (4)

Tương tự

$(bc)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{b^{2}c^{2}}=\sqrt[3]{b.bc.c}\leq \frac{b+bc+c}{3}$         (5)

$(ca)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{c^{2}a^{2}}=\sqrt[3]{c.ca.a}\leq \frac{c+ca+a}{3}$           (6)

Cộng theo vế của (4),(5),(6) ta được

$(ab)^{\frac{2}{3}}+(bc)^{\frac{2}{3}}+(ca)^{\frac{2}{3}}\leq \frac{2(a+b+c)+ab+bc+ca}{3}= \frac{6+ab+bc+ca}{3}\leq \frac{6+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{3}=3$

$\Rightarrow Q.E.D$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[neversaynever99]

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

Chứng minh tương tự ý 1.

Ta có

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}=a-\frac{2}{3}a^{\frac{2}{3}}b$.................

Rồi chứng minh

$a^{\frac{2}{3}}b+b^{\frac{2}{3}}c+c^{\frac{2}{3}}a\leq 3$

Ta có

$a^{\frac{2}{3}}b=\sqrt[3]{a^{2}}b=b\sqrt[3]{a.a.1}\leq b.\frac{2a+1}{3}=\frac{b}{3}(2a+1)$.................

[neversaynever99]

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

Biến đổi $\frac{a+1}{b^{2}+1}=(a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}\geq (a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{2b}=(a+1)-\frac{b(a+1)}{2}$

Tới đây ngon rồi (mỏi tay thật)

[tthandb]

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện $ab=1$ .CMR:

 

$(a+b+1)(a^{2}+b^2)+\frac{4}{a+b}\geq 8$

 

 

Mình làm được bài 1 rồi nè, up lên mọi người soi     

 

$(a+b+1)(a^{2}+b^2)+\frac{4}{a+b}$

o

$= \left ( (a+b)(a+b^{2})+\frac{8}{a+b} \right ) + \left ( a^{2} +b^{2}\right ) - \left (\frac{4}{a+b} \right )$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho từng ngoặc đơn:

 

$\geq 2\sqrt{8(a^{2}+b^{2})} + 2ab - \frac{4}{2\sqrt{ab}}$

 

$= 2\sqrt{8(a^{2}+b^{2})} + 2 - 2$

 

$\geq 2\sqrt{8.2\sqrt{ab}}$               ( Cô Si )

 

$=8 \rightarrow \mathfrak{dpcm}$

 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a= b= 1$

Edited by tthandb, 16-10-2013 - 19:24.

[tthandb]

Rất cảm ơn mọi người đã cùng bình luận, cùng giải những bài toán trên. )

[shinichikudo201]

Hoặc có thể cách như sau cũng bằng cauchy ngược

$\frac{\sqrt{z-1}}{z}=\frac{2\sqrt{z-1}}{2z}\leq \frac{z-1+1}{2z}=\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{2\sqrt{2(y-2)}}{2y\sqrt{2}}\leq \frac{y-2+2}{2y\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{x-3}}{x}=\frac{2\sqrt{3(x-3)}}{2x\sqrt{3}}=\frac{3+x-3}{2x\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Xong Công lại là ra   

Sai

[tthandb]

Sai

Bạn có thể giải thích chi tiết hơn được không

[tthandb]

Bài 5:

 

$(\sqrt{2}(xy+yz))^2=4(x.\dfrac{y}{\sqrt{2}}+\dfrac{y}{\sqrt{2}}.z)^2 \leq 4(x^2+z^2)y^2$

 

$ \leq (x^2+y^2+z^2)^2 $

 

Bạn có thể làm đầy dủ hơn hộ mình không ?

[shinichikudo201]

Bạn có thể giải thích chi tiết hơn được không

Hãy nhìn vào biến đổi ở dòng đầu là bạn sẽ thấy

[tthandb]

Biến đổi $\frac{a+1}{b^{2}+1}=(a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}\geq (a+1)-\frac{b^{2}(a+1)}{2b}=(a+1)-\frac{b(a+1)}{2}$

Tới đây ngon rồi (mỏi tay thật) 

 

Mình đang bí ở phần chứng minh $ab+bc+ca\leq 3$ sau khi cộng vế vs vế, làm sao bây h

Edited by tthandb, 17-10-2013 - 21:58.

[nghiemthanhbach]

Hãy nhìn vào biến đổi ở dòng đầu là bạn sẽ thấy

Cho bạn nói lại  , nhìn kỹ vô đi, không sai đâu

Nhìn xem ẩn $a,b$ của mình trong đó là gì nhé

[neversaynever99]

Mình đang bí ở phần chứng minh $ab+bc+ca\leq 3$ sau khi cộng vế vs vế, làm sao bây h

Hãy nhìn lại giả thiết bạn nhé

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{3^{2}}{3}=3$