Chủ đề này có 1 trả lời

[Mrnhan]

Cho ma trận $A=\left ( a_{ij} \right )_{1\leq i,\: j\leq n}\: \epsilon \: M\left ( n,\: \mathbb{R} \right )$ thỏa mãn $\left | a_{ii} \right |_{i=1\to n} > \sum_{i\neq j,\: i=1,\: j=1}^{n}\left | a_{ij} \right |$. CMR: $rank \left ( A \right )=n$

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Giả sử $\det {A}=0$. Khi đó hệ tuyến tính $Ax=0,x=\begin{pmatrix} x_1, & x_2, & ... & x_n \end{pmatrix}^T$ có nghiệm không tầm thường. Giả sử $x_k=\max{x_j}_{1 \le j \le n}$.

Khi đó

$$\left | a_{kk}x_k \right |=\left | -\sum_{j=1,j\neq k}^{n} a_{kj}x_j\right | \leq \sum_{j=1,j \neq k}^{n}\left | a_{kj} \right |\left | x_j \right | \leq \left | x_k \right |\sum_{j=1,j \neq k}^{n}\left | a_{kj} \right | <\left | x_k \right |\left | a_{kk} \right |$$

(vô lý)

Vậy $\det {A} \neq 0$. Suy ra đpcm.

 

 

p/s: câu 19 http://diendantoanho...oán-về-ma-trận/