Chủ đề này có 5 trả lời

[pdtienArsFC]

2, GPT

a, $\frac{6x-3}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}=3+2\sqrt{x-x^{2}}$

b, $3x+11=4\sqrt{x-1}+6\sqrt{2x-1}$

c, Cho a,b>0 thỏa mãn $a-\sqrt{ab}-6b=0$. Tính giá trị của biểu thức: P=$\frac{a+b}{a+\sqrt{ab}+b}$

3, a,Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

b, Tìm Min của M=$x^{2}-5x+y^{2}-4y+xy+2020$

4, Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn, vẽ tia Ax vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C, đoạn BC cắt nửa (O) tại điểm H.

a,Chứng minh: $AH^{2}=HB.HC$

b,Chứng minh: $\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{BH}{CH}$

c, Trên tia AH lấy điểm E sao cho AE=BH. Chứng minh E thuộc một đường cố định khi C thay đổi trên Ax.

5, Chứng minh M có giá trị nguyên với:

M=$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2014}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2014}$.

[neversaynever99]

Bài 3

a,Xem ở đâyhttp://diendantoanho...x2/#entry459529

 

b, Ta có

$x^{2}-5x+y^{2}-4y+xy+2020=(x+\frac{y}{2}-\frac{5}{2})^{2}+3(\frac{y}{2}-\frac{1}{2})^{2}+2013$

Vậy min của M=2013

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow y=1;x=2$

[neversaynever99]

Bài 2

a,$\frac{6x-3}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}=3+2\sqrt{x-x^{2}}$

ĐK: $0\leq x\leq 1$

$\Leftrightarrow 3(\sqrt{x}-\sqrt{1-x})=3+2\sqrt{x-x^{2}}$ (*)

Tới đây đặt $\sqrt{x}-\sqrt{1-x}=t\Rightarrow 2\sqrt{x-x^{2}}=1-t^{2}$

Tới đây thì pt(*)trở thành          $3t=3+1-t^{2}$   (1)                                                                                                                                 Giải phương trình (1) ta được t=1 hoặc t=-4

Từ đây tìm được iá trị x thoả mãn là x=1 

b,$3x+11=4\sqrt{x-1}+6\sqrt{2x-1}$

ĐK: $x\geq 1$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-2)^{2}+(\sqrt{2x-1}-3)^{2}=0$

Từ đay tìm được  x=5

c, $a-\sqrt{ab}-6b=0\Leftrightarrow (\sqrt{a}-3\sqrt{b})(a+2\sqrt{b})$

Do a.b>0 nên $\sqrt{a}=3\sqrt{b}$

Tới đây thì dơn giản rồi

                        

[neversaynever99]

Bài 5

Ta có

M=$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2014}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2014}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2014}+(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}})^{2014}=\left [ (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}\right ]^{1007}+\left [(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}})^{2} \right ]^{1007}$

Nhận thấy $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}+(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}})^{2} =10\in \mathbb{Z}$

Ta chứng minh bài toán này nữa là xong

Với $a\neq 0$ mà $a+\frac{1}{a}$ là số nguyên thì $a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$ cũng là một số nguyên$(n\in \mathbb{Z})$

Giải (chứng minh bằng quy nạp)

Ta đặt $S_{n}=a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$ với n=0,1,2.......

Ta có $S_{0}=2$ và $S_{1}=a+\frac{1}{a}\in \mathbb{Z}$(theo giả thiết).Giả sử đpcm đúng với mọi số nguyên n.Thế thì

$S_{1}.S_{n}=(a+\frac{1}{a})+\left ( a^{n}+\frac{1}{a^{n}} \right )=(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}})(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}})=S_{n+1}+S_{n-1}$

hay $S_{n+1}=S_{1}S_{n}-S_{n-1}(*)$

Đẳng thức (*) chứng tỏ $S_{n+1}\in \mathbb{Z}$. Theo nguyên lý quy nạp thì $S_{n}\in \mathbb{Z}$ với mọi $n\in \mathbb{Z}$

 

[Gemini Shin]

4, Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn, vẽ tia Ax vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C, đoạn BC cắt nửa (O) tại điểm H.

a,Chứng minh: $AH^{2}=HB.HC$

a. Ta có: $\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (Góc nội tiếp & góc tạo bởi tiếp tuyến + dây chắn cung AH)

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta AHB$ đồng dạng $\Delta CHA$

$\Rightarrow \frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}\Rightarrow AH^2=HB.HC$ (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gemini Shin: 25-10-2013 - 21:32

[Gemini Shin]

4, Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn, vẽ tia Ax vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C, đoạn BC cắt nửa (O) tại điểm H.

a,Chứng minh: $AH^{2}=HB.HC$

b,Chứng minh: $\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{BH}{CH}$

c, Trên tia AH lấy điểm E sao cho AE=BH. Chứng minh E thuộc một đường cố định khi C thay đổi trên Ax.

b. $\Delta ABC$ vuông tại A đường cao AH. áp dụng Hệ thức lượng, ta có:

$AB^2=BC.BH$ và $AC^2=BC.CH$

$\Rightarrow \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BC.BH}{BC.CH}=\frac{BH}{CH}$ (dpcm)