Chủ đề này có 1 trả lời

[haitienbg]

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống $BC$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $B$, $C$ của tam giác $ABH$ , $ACH$. Gọi P là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ với BC. Chứng minh $I$, $J$,$P$,và $H$ cùng nằm trên một đường tròn.

[perfectstrong]

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra $F,E$ nằm trên tia $BC,CB$ và $H \in [BC]$.

Vẽ $(I),(J)$ tiếp xúc $BC$ tại $F,E$. Vì $\angle AHB=\angle AHC=90^o \Rightarrow EJ=EH;FI=FH$.

Dễ thấy $\angle JHI=90^o$. Mặt khác:\[
\begin{array}{l}
 \left. \begin{array}{l}
 FP = BF - BP = \frac{{BH + HA + BA}}{2} - \frac{{BA + BC - AC}}{2} = \frac{{AH + AC - HC}}{2} \\
 HE = CE - CH = \frac{{AC + CH + HA}}{2} - CH = \frac{{HA + AC - CH}}{2} \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow HE = FP \\
  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 JE = EH = FP \\
 EP = EH + HP = PF + PH = FP = IF \\
 \end{array} \right. \Rightarrow JEP = PFI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle JPE = \angle PIF \\
  \Rightarrow \angle JPE + \angle IPF = \angle PIF + \angle IPF = 90^o  \Rightarrow \angle JPI = 90^o  = \angle JHI \\
 \end{array}
\]
Do đó, ta có đpcm.