Chủ đề này có 7 trả lời

[hochoidetienbo]

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 1.

Chứng minh: $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\le 1$ 

 

 

[kfcchicken98]

bđt tương đương 
$\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 1$
tương đương $\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}\geq \frac{2}{z+2}$
tương đương $\frac{2xy+2x+2y}{(x+2)(y+2)}\geq \frac{2}{z+2}$

tương đương $\frac{xy+x+y}{(x+2)(y+2)}\geq \frac{1}{z+2}$

tương đương $xyz+xz+yz+2xy+2x+2y\geq xy+2x+2y+4$
tương đương $xyz+xz+yz+xy\geq 4$ (đúng do xyz=1) đpcm 

[hochoidetienbo]

bđt tương đương 
$\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 1$
tương đương $\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}\geq \frac{2}{z+2}$
tương đương $\frac{2xy+2x+2y}{(x+2)(y+2)}\geq \frac{2}{z+2}$

tương đương $\frac{xy+x+y}{(x+2)(y+2)}\geq \frac{1}{z+2}$

tương đương $xyz+xz+yz+2xy+2x+2y\geq xy+2x+2y+4$
tương đương $xyz+xz+yz+xy\geq 4$ (đúng do xyz=1) đpcm 

Tại sao lại có bdt này anh nhỉ $xyz+xz+yz+xy\geq 4$ (đúng do xyz=1)

[Hoang Tung 126]

Đây là bdt Cosi cho 4 số là $xyz+xy+yz+xz\geq 4\sqrt[4]{x^3y^3z^3}=4$

[Hoang Tung 126]

Mình sẽ giải cách khác là :BDT $< = > \sum \frac{x}{x+2}\geq 1$

Do $xyz=1$ nên đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$

BDT $< = > \sum \frac{\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}+2}\geq 1< = > \sum \frac{a}{a+2b}\geq 1$

Theo bdt cauchy-Swtch có :$\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^2}{a^2+2ab}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a^2+\sum2ab }=\frac{(\sum a)^2}{(\sum a)^2}=1$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c hay x=y=z=1

[thanhvinh1tv]

bđt tương đương 
$\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 1$
tương đương $\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}\geq \frac{2}{z+2}$
tương đương $\frac{2xy+2x+2y}{(x+2)(y+2)}\geq \frac{2}{z+2}$

tương đương $\frac{xy+x+y}{(x+2)(y+2)}\geq \frac{1}{z+2}$

tương đương $xyz+xz+yz+2xy+2x+2y\geq xy+2x+2y+4$
tương đương $xyz+xz+yz+xy\geq 4$ (đúng do xyz=1) đpcm 

Vì sao mà bất đẳng thức đã cho tương đương với $\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 1$

được nhỉ

[Phuong Thu Quoc]

Vì sao mà bất đẳng thức đã cho tương đương với $\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 1$

được nhỉ

Ta có $\dpi{100} \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\leq 1$

         $\dpi{100} \Leftrightarrow \frac{2}{x+2}+\frac{2}{y+2}+\frac{2}{z+2}\leq 2$

         $\dpi{100} \Leftrightarrow \left ( 1-\frac{2}{x+2} \right )+\left ( 1-\frac{2}{y+2} \right )+\left ( 1-\frac{2}{z+2} \right )\geq 1$

         $\dpi{100} \Leftrightarrow \frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 1$

Đến đây giải như trên

[Trang Luong]

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 1.

Chứng minh: $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\le 1$ 

Đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$

Ta có : $\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+\frac{a}{b}}=\frac{b}{a+2b}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{a}{a+2b} \right )=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{a^2}{a^2+2ab} \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x+2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left ( \frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2bc}+\frac{c^2}{c^2+2ac} \right )\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}=1$