Chủ đề này có 3 trả lời

[leduylinh1998]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min:

  $P=\sum \frac{\sqrt{a^{4}+4}}{a}$

 

 

 

p/s: Cám ơn các bạn trước nhé. Thầy mình bảo bài này làm theo vectơ vẫn được, nhưng mình tìm mãi chẳng ra cách nào ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leduylinh1998: 21-11-2013 - 19:51

[SPhuThuyS]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min:

  $P=\sum \frac{\sqrt{a^{4}+4}}{a}$

 

 

 

p/s: Cám ơn các bạn trước nhé. Thầy mình bảo bài này làm theo vectơ vẫn được, nhưng mình tìm mãi chẳng ra ???

Ta có =$\sum \sqrt{\frac{a^{4}+4}{a^{2}}}=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{4}{a^{2}}}$

Đặt $\vec{x}(a,\frac{2}{a});\vec{y}(b;\frac{2}{b});\vec{z}(c;\frac{2}{c})$

$\Rightarrow \left | \vec{x} \right |=\sqrt{a^{2}+\frac{4}{a^{2}}}$

Mà $\left | \vec{x}+\vec{y}+\vec{z} \right |=\sqrt{(a+b+c)^{2}+(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c})^{2}}\leqslant \left | \vec{x} \right |+\left | \vec{y} \right |+\left | \vec{z} \right |=P$

Đến đây bạn giải tiếp nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SPhuThuyS: 21-11-2013 - 19:57

[Hoang Tung 126]

Ta có :$P=\sum \frac{\sqrt{a^4+4}}{a}=\sum \sqrt{\frac{a^4+4}{a^2}}=\sum \sqrt{a^2+\frac{4}{a^2}}\geq \sqrt{(\sum a)^2+4(\sum \frac{1}{a})^2}$

Đến đây cân bằng số hạng rồi dùng bđt Cosi là ra

[hoctrocuanewton]

ta có áp dụng bđt miacopski

$\sum \frac{\sqrt{a^{4}+4}}{a}= \sum \sqrt{ a^{2}+\frac{4}{a^{2}}}\geq \sqrt{(\sum a)^{2}+(\sum \frac{2}{a})^{2}}\geq \sqrt{3\sum ab+3\sum \frac{4}{ab}}$ (1)

ta có

$\frac{4}{ab}+64ab\geq 32\Rightarrow \frac{4}{ab}\geq 32-64ab$

tương tự ta sẽ chứng minh được

$\sum \frac{4}{ab}\geq 96-64(ab+ac+bc)$ (2)

từ (1)(2) suy ra

$P\geq \sqrt{9.32-3.63(ab+bc+ac)}\geq \sqrt{9.32-63.(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{65}}{2}$