Chủ đề này có 5 trả lời

[trandaiduongbg]

Với x,y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

[thanhducmath]

Ta chứng minh 2 BĐT sau bằng biến đổi tương đương :

$\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}\geq \frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$;

$\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geq \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

Cộng lại ta được minQ = 1.Dấu "=" xảy ra khi x=y

[Hoang Tung 126]

Ta có :$Q=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(\frac{x}{y}+1)^3}}$

Đặt $\frac{y}{x}== > \frac{x}{y}=\frac{1}{a}$

$Q=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(\frac{1}{a}+1)^3}}=\frac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}+\frac{2}{\sqrt{(\frac{1}{a}+2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}+1)}}\geq \frac{1}{\frac{2a+1+4a^2-2a+1}{2}}+\frac{2}{\frac{\frac{1}{a}+2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}+1}{2}}=\frac{1}{2a^2+1}+\frac{4a^2}{3a^2+2a+1}$(Do áp dụng bđt Cosi cho 2 số)

 Ta sẽ CM :$\frac{1}{2a^2+1}+\frac{4a^2}{3a^2+2a+1}\geq 1< = > 2a^4-4a^3+2a^2\geq 0< = > a^2(a-1)^2\geq 0$(luôn đúng)

Từ đó $= > Q\geq 1$ nên Q Min = 1 khi a=1 hay x=y

[NMDuc98]

[Hoang Tung 126]

Cách làm này giống của mình mà

[KietLW9]

Với x,y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

Ta có: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}-\frac{x^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4x^3y^2(x-y)^2}{(x^3+8y^3)(x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\frac{x^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geqslant \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ (1)

          $\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}-\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=\frac{\frac{4y^3(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)}{[y^3+(x+y)^3](x^2+2y^2)^2}}{\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}}\geqslant 0\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ (2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: $\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geqslant \frac{x^2+2y^2}{x^2+2y^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$