Chủ đề này có 2 trả lời

[sasuke4598]

Cho $x,y,z,t$ thay đổi thuộc $[1;2]$. Tìm max $P=(x+y+z+t)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sasuke4598: 12-12-2013 - 14:34

[Phuong Thu Quoc]

Đặt $f\left ( a,b,c,d \right )=\left ( a+b+c+d \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} \right )$

Ta thấy $f\left ( a,b,c,d \right )$ là 1 hàm lồi

Do đó $f\left ( a,b,c,d \right )$ đạt GTLN khi $a,b,c,d \in \begin{Bmatrix} 1;2 & & \end{Bmatrix}$

Giả sử có $x$ số bằng 2

Ta có $P=\left ( 2x+4-x \right )\left ( \frac{x}{2} +4-x\right )$

$P=\frac{1}{2}\left ( x+4 \right )\left ( 8-x \right )=-\frac{1}{2}\left ( x-2 \right )^{2}+18\leq 18$

Do đó MAX P=18 khi có 2 số bằng 2 và 2 số bằng 1

[Juliel]

Ta tổng quát bài toán :

Với các số dương $a_1,a_2,...,a_n$ thuộc vào đoạn $\left [ p,q \right ]$ thì ta có :

$\left ( a_1+a_2+...+a_n \right )\left ( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n} \right )\leq n^{2}+\frac{k_n}{4}\left ( \sqrt{\frac{p}{q}}-\sqrt{\frac{q}{p}} \right )^{2}$

Với $k_n=n^2$ nếu $n$ chẵn và $k_n=n^2-1$ nếu $n$ lẻ.

Có một lời giải của THCS như sau :

Cố định biến $a_1$ và xem các biến còn lại là hằng số thì

$VT=\left ( \alpha +a_1 \right )\left ( \beta +\frac{1}{a_1} \right )=\frac{\alpha }{a_1}+a_1\beta +\alpha \beta +1$

Xét hàm số $f(a)=\frac{\alpha }{a}$ trên $[p,q]$ là một nhánh hyperbol nằm trong góc phần tư thứ nhất và bề lõm quay lên, hiển nhiên giá trị lớn nhất của hàm số chỉ đạt được tại các đầu mút $p$ hoặc $q$

Xét hàm số $g(a)=a_1\beta +\alpha \beta +1$ trên $[p,q]$ có đồ thị là một đoạn thẳng mà hai đầu đoạn thẳng này là hai điểm có hoành độ $p$ hoặc $q$.

Do đó giá trị lớn nhất của $VT$ chỉ đạt được tại $a_1=p$ hoặc $a_1=q$.

Tương tự thì giá trị lớn nhất của $VT$ chỉ đạt được tại $a_i\in \left \{ p,q \right \}\forall i=1,2,...,n$. 

Phần còn lại làm tương tự như cách giải của bạn trên.