Chủ đề này có 742 trả lời

[Trang Luong]

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

132) 

$\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geq 2\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{(x-y)^{2}+2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}\Leftrightarrow (x-y)^{2}-2\sqrt{2}(x-y)+2\geq 0\Leftrightarrow (x-y-\sqrt{2})^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

[Trang Luong]

134

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$

khi đó $0\leq a\leq 1$

$1\leq c \leq 2$

$\Rightarrow a^{2}\leq a,c^{2}\leq 3c-2$

VT$= a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}$$\leq 2a(c-2)+5\leq 5$

 

 

Chỗ này tại sao

VT=$a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}=2a^{2}+2(c^{2}-3c+2)+5+2ac\leq 2a+2(3c-2-3c+2)=2a(c-2)+5\leq 5$

vì $c\leq 2$ và a$\geq 0$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 31-03-2014 - 19:53

[hoangmanhquan]

Bài 136:

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+\frac{1}{2}bc+c^2}}\geq 2$

P/s: Lâu rồi mới được post bài lên diễn đàn,mọi người cùng thảo luận nhé! Nhưng mình thấy spam hơi nhiều. Các mem chú ý nhé!       Xây dựng topic ngày càng phát triển nha!

 

Viet Hoang 99: Chú ý STT bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 31-03-2014 - 20:22

[buiminhhieu]

Bài 136:

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+\frac{1}{2}bc+c^2}}\geq 2$

P/s: Lâu rồi mới được post bài lên diễn đàn,mọi người cùng thảo luận nhé! Nhưng mình thấy spam hơi nhiều. Các mem chú ý nhé!       Xây dựng topic ngày càng phát triển nha!

 

Viet Hoang 99: Chú ý STT bài toán

phải là $\leq 2$!

[BoY LAnH LuNg]

137, cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2

chứng minh a²+ b²+ c² +2abc <2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 02-04-2014 - 11:21

[BoY LAnH LuNg]

138,Với mọi số dương x, y, z thoả mãn $x+y+z\leq 1$

Tìm GTNN của P = $x+y+z+2\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 01-04-2014 - 19:53

[Trang Luong]

139. Cho $a,b,c\geq 0,a^2+b^2+c^2=1$. Tìm min $P=\sum \frac{a}{1+bc}$

P/s: K biết bài này đăng chưa nên cứ gởi lên. Nếu đăng rồi thì thôi

140. Cho $a,b>0,(a+1)(b+1)=4$. Tìm min $Q=\frac{ab}{a+b}+\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}$

[buiminhhieu]

138,Với mọi số dương x, y, z thoả mãn $x+y+z\leq 1$

Tìm GTNN của P = $x+y+z+2\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$

Áp dụng BĐT  $\mathbf{AM-GM}$ ta được

$x+\frac{1}{9x}\geq \frac{2}{3};\frac{17}{9}\sum \frac{1}{x}\geq \frac{17}{9}.\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{17}{9}$

Cộng theo vế là xong

[BoY LAnH LuNg]

137, cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2

chứng minh a²+ b²+ c² +2abc <2

ta có 2 = a + b + c > a + a nên 0 < a < 1

TT 0 < b < 1 ; 0 < c < 1

Từ đó $\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )> 0$

nên $1-\left ( a+b+c \right )+ab+bc+ca-abc> 0$  (*)

Lại có $\left ( a+b+c \right )^{2}=4$ nên $ab+bc+ca=\frac{4-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{2}$

Thay vào (*) là ra

[BoY LAnH LuNg]

141, Chứng ming với k > o ta có $\frac{1}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+2})^{3}}<\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+2}})$

142 Cho a, b, c thuộc [1,2]

Chứng minh $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$\leq$ 10$

p/s: mình không biết bài 142 có hay chưa vì mình tìm k thấy.nếu có rồi thì nhắc mình nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 04-04-2014 - 16:10

[BoY LAnH LuNg]

Mình mới tìm được bài này

143, Cho a, b, c là các số thực.CMR

$a(a+b)(a^{2}+b^{2})+b(b+c)(b^{2}+c^{2})+c(c+a)(c^{2}+a^{2})\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoY LAnH LuNg: 05-04-2014 - 23:23

[backieuphong]

144. Cho x + y = 1. Tìm min $\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$

 

@Viet Hoang 99: Chú ý STT bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-04-2014 - 11:38

[firetiger05]

144. Cho x + y = 1. Tìm min $\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$

$\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$ 

= $\left ( 1-\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{x} \right )$$\left ( 1-\frac{1}{y} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )$

= $\left ( 1-\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1-\frac{x+y}{y} \right )$$\left ( 1+\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1+\frac{x+y}{y} \right )$

=$\left ( -\frac{x}{y} \right )\left ( -\frac{y}{x} \right )$$\left ( \frac{2x+y}{x} \right )\left ( \frac{2y+x}{y} \right )$

=$\frac{5xy+2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{xy}$

$\geq 5+4$    (vì x²+ y²$\geq$ 2xy theo cô si )

Dẫu bằng xảy ra khi x=y=0.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-04-2014 - 11:38

[nguyenhongsonk612]

 

121. Tìm $min$ của $\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)} với x+y+z=3$ 

Cách khác giải bài này!

Ta có:

$a-b+b-c+c-a=0$

$\Leftrightarrow \frac{a^4-b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{b^4-c^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{c^4-a^4}{(c^2+a^2)(c+a)}=0$

$\Leftrightarrow \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{b^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{c^4}{(c^2+a^2)(c+a)}=\frac{b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{c^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{a^4}{(c^2+a^2)(c+a)}$

Suy ra

$2P= \frac{2a^4}{(a^2+b^2)(a+b))}+\frac{2b^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{2c^{4}}{(c^2+a^2)(c+a)}=\frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{b^4+c^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{c^4+a^4}{(c^2+a^2)(c+a)}$
Ta có:

$a^4+b^4\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)^2\geq \frac{1}{4}(a^2+b^2)(a+b)^2$

$\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}\geq \frac{a+b}{4}$

Suy ra $P\geq \frac{a+b+c}{4}= \frac{3}{4}$

Vậy min P = $\frac{3}{4}$. Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-04-2014 - 11:42

[nguyenhongsonk612]

145. Cho các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $0<x<1$; $0<y<1$. CMR:

$x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-04-2014 - 20:19

[buiminhhieu]

Cách này có vẻ ngắn hơn cách cậu

Xét $B=\sum \frac{y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

C/M $A=B\Leftrightarrow A-B=\sum \frac{x^{4}-y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}=\sum (x-y)=0$

Do đó $2A=A+B=\sum \frac{x^{4}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}\geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2(x^{2}+y^{2})(x+y)}$

$\geq \frac{1}{2}\sum \frac{(x+y)^{2}}{2(x+y)}=\frac{x+y+z}{2}$$=\frac{3}{2}$

Nên $A\geq \frac{3}{4}$

 

 

Cách khác giải bài này!

Ta có:

$a-b+b-c+c-a=0$

$\Leftrightarrow \frac{a^4-b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{b^4-c^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{c^4-a^4}{(c^2+a^2)(c+a)}=0$

$\Leftrightarrow \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{b^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{c^4}{(c^2+a^2)(c+a)}=\frac{b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{c^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{a^4}{(c^2+a^2)(c+a)}$

Suy ra

$2P= \frac{2a^4}{(a^2+b^2)(a+b))}+\frac{2b^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{2c^{4}}{(c^2+a^2)(c+a)}=\frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}+\frac{b^4+c^4}{(b^2+c^2)(b+c)}+\frac{c^4+a^4}{(c^2+a^2)(c+a)}$
Ta có:

$a^4+b^4\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)^2\geq \frac{1}{4}(a^2+b^2)(a+b)^2$

$\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}\geq \frac{a+b}{4}$

Suy ra $P\geq \frac{a+b+c}{4}= \frac{3}{4}$

Vậy min P = $\frac{3}{4}$. Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Không khác gì cách mình cả!!!

[Trang Luong]

145. Cho các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $0<x<1$; $0<y<1$. CMR:

$x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Nhân 2 vế của BĐT với $2\sqrt{3}\Rightarrow 2\sqrt{3}\left (x+y \right )+2\sqrt{3}x\sqrt{1-y^2}+2\sqrt{3}y\sqrt{1-x^2}\leq 9$

Ta có : $2\sqrt{3}x\sqrt{1-y^2}+2\sqrt{3}y\sqrt{1-x^2}\leq x^2+3-3y^2+y^2+3-3x^2=6-2x^2-2y^2$

$2\sqrt{3}\left (x+y \right )+2\sqrt{3}x\sqrt{1-y^2}+2\sqrt{3}y\sqrt{1-x^2}\leq 6-2x^2-2y^2+2\sqrt{3}\left (x+y \right )=\sum 2\left ( -x^2+x\sqrt{3}-\frac{3}{4} \right )+9\leq 9$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

P/s: bài 140,141 m.n làm đi 

[nguyenhongsonk612]

Nhân 2 vế của BĐT với $2\sqrt{3}\Rightarrow 2\sqrt{3}\left (x+y \right )+2\sqrt{3}x\sqrt{1-y^2}+2\sqrt{3}y\sqrt{1-x^2}\leq 9$

Ta có : $2\sqrt{3}x\sqrt{1-y^2}+2\sqrt{3}y\sqrt{1-x^2}\leq x^2+3-3y^2+y^2+3-3x^2=6-2x^2-2y^2$

$2\sqrt{3}\left (x+y \right )+2\sqrt{3}x\sqrt{1-y^2}+2\sqrt{3}y\sqrt{1-x^2}\leq 6-2x^2-2y^2+2\sqrt{3}\left (x+y \right )=\sum 2\left ( -x^2+x\sqrt{3}-\frac{3}{4} \right )+9\leq 9$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

P/s: bài 140,141 m.n làm đi 

Mình chưa hiểu rõ chỗ này, bạn giải thích giúp mình với!

[Trang Luong]

Mình chưa hiểu rõ chỗ này, bạn giải thích giúp mình với!

Áp dụng BDT AM-GM:

Ta có : $x^2+3(1-y^2)\geq 2\sqrt{3x^2(1-y^2)}=2\sqrt{3}x\sqrt{1-y^2}$

[Trang Luong]

141, Chứng ming với k > o ta có $\frac{1}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+2})^{3}}<\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+2}})$

142 Cho a, b, c thuộc [1,2]

Chứng minh $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 10$

p/s: mình không biết bài 142 có hay chưa vì mình tìm k thấy.nếu có rồi thì nhắc mình nhé

141)

$\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+2}})= \frac{1}{8}.\frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+2)}}= \frac{1}{8}.\frac{2}{\sqrt{k(k+1)}.(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}= \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}.(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}> \frac{1}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})^{3}}$