Cho a,b,c> o thoả mãn: a+b+c= ab+bc+ca
CMR:$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leqslant \frac{3}{2}$
Cho a,b,c> o thoả mãn: a+b+c= ab+bc+ca
CMR:$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leqslant \frac{3}{2}$
bạn thử xem lại cái CMR thữ xem có ghi nhầm ko
bạn thử xem lại cái CMR thữ xem có ghi nhầm ko
mình thử bằng máy tinh rồi, đề không sai đâu
Đặt $p=a+b+c$ , $q=ab+bc+ca$ và $r=a.b.c$,
Từ BĐT ban đầu ta quy đồng vế trái lên, sẽ đưa về được :
$\frac{p^2+q}{p.q-r}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2p^2+2q\leq 3pq-3r$
$\Leftrightarrow p^2-2p-3r\geqslant 0$ ( Vì $p=q$ )
Ta có :$-r\geq -\frac{p.q}{9}=-\frac{p^2}{9}$
Nên $p^2-2p-3r\geq p^2-2p-\frac{p^2}{3}$
Ta cần chứng minh $p^2-2p-\frac{p^2}{3}\geq 0$ hay $p.(p-3)\geq 0$ (1)
Từ giả thiết $p=q \Rightarrow p=q\leq \frac{p^2}{3}$
$\Rightarrow p\geq 3$ (2)
Từ (2) suy ra (1) đúng
Vậy BĐT được chứng minh
Edited by badatmath, 16-01-2014 - 17:09.
Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min
Đặt $p=a+b+c$ , $q=ab+bc+ca$ và $r=a.b.c$,
Từ BĐT ban đầu ta quy đồng vế trái lên, sẽ đưa về được :
$\frac{p^2+q}{p.q-r}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2p^2+2q\leq 3pq-3r$
$\Leftrightarrow p^2-2p-3r\geq p^2-2p-\frac{p^2}{3}\geqslant 0$ ( Vì $p=q$ )
Ta có :$r\geq \frac{p.q}{9}=\frac{p^2}{9}$
Nên $p^2-2p-3r\geq p^2-2p-\frac{p^2}{3}$
Ta cần chứng minh $p^2-2p-\frac{p^2}{3}\geq 0$ hay $p.(p-3)\geq 0$ (1)
Từ giả thiết $p=q \Rightarrow p=q\leq \frac{p^2}{3}$
$\Rightarrow p\geq 3$ (2)
Từ (2) suy ra (1) đúng
Vậy BĐT được chứng minh
chỗ này ngược dấu rồi bạn
chỗ này ngược dấu rồi bạn
Ừ đúng rồi, mình nhầm tí, mình edit lại rồi
Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min
Cho a,b,c> o thoả mãn: a+b+c= ab+bc+ca
CMR:$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leqslant \frac{3}{2}$
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng thuần nhất là
\[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leqslant \frac{3}{2}\cdot \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}.\]
Chú ý rằng
\[\frac{ab+bc+ca}{a+b}=\frac{c(a+b)+ab}{a+b}=c+\frac{ab}{a+b},\]
nên bất đẳng thức được rút gọn lại nhưu sau
\[\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b+c}{2}.\]
Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức cơ bản $(x+y)^2 \ge 4xy.$
Ngoài ra bài toán còn được chứng minh bằng cách sử dụng hai đánh giá quen thuộc $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$ và $(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}\cdot (a+b+c)(ab+bc+ca).$
Từ bài này ta suy ra được bất đẳng thức khá hay sau đây (nếu mình nhớ đúng đề :v)
\[\frac{1}{a+b+2}+\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+a+2}\leqslant \frac{3}{4},\]
với $a,\;b,\;c$ cùng điều kiện trên và $ab+bc+ca=3.$
Edited by Nguyenhuyen_AG, 17-01-2014 - 01:35.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Started by Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Started by Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Started by Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Started by POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Started by Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users