Chủ đề này có 5 trả lời

[buiminhhieu]

Cho $x,y,z\geq 0 ;x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$ Chứng minh $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 01-05-2014 - 15:51

[hoangmanhquan]

Áp dụng BDT phụ: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$

ta được: $VT\geq \frac{8}{(x+1+\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq 8.\frac{8}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}= \frac{256}{(2x+y+2z+10)^2}$

Còn điều kiện,làm sao để xuất hiện biểu thức dưới mẫu nhỉ?

Thử làm tiếp xem hướng này có được không,

Mình thì chịu,

[buiminhhieu]

Áp dụng BDT phụ: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$

ta được: $VT\geq \frac{8}{(x+1+\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq 8.\frac{8}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}= \frac{256}{(2x+y+2z+10)^2}$

Còn điều kiện,làm sao để xuất hiện biểu thức dưới mẫu nhỉ?

Thử làm tiếp xem hướng này có được không,

Mình thì chịu,

BĐT phụ sai rồi nha

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{8}{(a+b)^{2}}$

[hoangmanhquan]

BĐT phụ sai rồi nha

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{4}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{8}{(a+b)^{2}}$

ơ.............ừ nhỉ?

à mà đúng rồi mà,,,dùng AM-GM để cm

$(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})(a+b)^2\geq 2\sqrt{\frac{1}{a^2b^2}}.4ab$

[buiminhhieu]

Áp dụng BDT phụ: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$

ta được: $VT\geq \frac{8}{(x+1+\frac{y}{2}+1)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}\geq 8.\frac{8}{(x+\frac{y}{2}+z+5)^2}= \frac{256}{(2x+y+2z+10)^2}$

Còn điều kiện,làm sao để xuất hiện biểu thức dưới mẫu nhỉ?

Thử làm tiếp xem hướng này có được không,

Mình thì chịu,

Ha ha mình làm được rùi tks

Ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$

Mà $x^{2}\geq 2x-1;z^{2}\geq 2z-1;y^{2}\geq 4y-4\Rightarrow 2x+2z+4y-6\leq 3y\Rightarrow 2x+2z+y\leq 6$

Do đó $VT\geq \frac{256}{16^{2}}=1$

[hoangmanhquan]

Ha ha mình làm được rùi tks

Ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3y$

Mà $x^{2}\geq 2x-1;z^{2}\geq 2z-1;y^{2}\geq 4y-4\Rightarrow 2x+2z+4y-6\leq 3y\Rightarrow 2x+2z+y\leq 6$

Do đó $VT\geq \frac{256}{16^{2}}=1$

siêu thế.

cái điều kiện ẩn quá.

có cách làm nào khác cho bài này không nhỉ?