Chủ đề này có 1 trả lời

[NTHMyDream]

Phương trình hàm Cauchy

bài 1: Tìm hàm số liên tục f:R->R thỏa mãn $\forall a,b,c>0: abc[f\left ( \frac{a}{b} \right )+f\left ( \frac{b}{c}\right ) +f\left ( \frac{c}{a} \right )-6042]=a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b$

Ánh xạ

bài 2: cho hàm số liên tục f:R->R thoả mãn $\forall x\in R:f(f(x))=f(x)+2x$ chứng minh rằng f(0)=0 và tìm tất cả hàm số thoả mãn các điều kiện đã cho 

 

 

[vutuanhien]

bài 2: cho hàm số liên tục f:R->R thoả mãn $\forall x\in R:f(f(x))=f(x)+2x$ chứng minh rằng f(0)=0 và tìm tất cả hàm số thoả mãn các điều kiện đã cho 

Dạng này chắc quá quen thuộc rồi nhỉ

Giả sử $f(x)=f(y)$ thì $f(x)+2x=f(f(x))=f(f(y)=f(y)+2y\Rightarrow x=y$. Do đó $f$ là đơn ánh

Thay $x=0$ vào giả thiết ta được $f(f(0))=f(0)$ nên $f(0)=0$

Kết hợp với $f$ liên tục suy ra $f$ đơn điệu thực sự trên $\mathbb{R}$

Ta xét $2$ trường hợp

Trường hợp 1:$f$ là hàm đơn điệu tăng thực sự. Ta sẽ chứng minh $f$ toàn ánh, và do đó $f$ song ánh nên tồn tại hàm ngược $f^{-1}(x)$

Thật vậy, giả sử tồn tại $m\in \mathbb{R}$ mà $f(x)\neq m \forall x\in \mathbb{R}$

Do $f$ liên tục nên hoặc $f(x)> m$ $\forall m\in \mathbb{R}$, hoặc $f(x)< m$ $\forall m\in \mathbb{R}$

Nếu $f(x)> m$ $\forall m\in \mathbb{R}$ suy ra $f(f(x))> f(m)> m\Rightarrow f(x)=f(f(x))-2x> m-2x$

Suy ra $0>f(-n)> m+2n$ $\forall n\in \mathbb{N}$, 1 điều vô lí

Nếu $f(x)< m$ $\forall m\in \mathbb{R}$ thì làm tương tự ta cũng suy ra $0<m-2n$ $\forall n\in \mathbb{N}$, cũng vô lí

Do đó $f$ toàn ánh, nên $f$ song ánh và tồn tại hàm ngược $f^{-1}(x)$. Vì $f$ là hàm đơn điệu tăng thực sự nên $f^{-1}(x)$ là hàm đơn điệu tăng thực sự

Suy ra nếu $x> 0$ thì $f^{-1}(x)> f^{-1}(0)=0$, nếu $x< 0$ thì $f^{-1}(x)< f^{-1}(0)=0$

Với $x> 0$, ta xét dãy

$$u_1=x, u_{n+1}=f^{-1}(u_{n})$$

Thay $x$ bởi $f^{-1}(f^{-1}(x))$ ta được

$$f(f(f^{-1}(f^{-1}(x))))=f(f^{-1}(f^{-1}(x)))+2f^{-1}(f^{-1}(x)) (1)$$

$$\Rightarrow x=f^{-1}(x)+2f^{-1}(f^{-1}(x))$$

Do đó $2u_{2}+u_{1}-u_{0}=0$. Trong $(1)$ lại thay $x$ bởi $u_n$ ta thu được

$2u_{n+2}+u_{n+1}-u_{n}=0$ $\forall n\in \mathbb{N}$

Phương trình đặc trưng của dãy là $2u^2+u-1=0$ có $2$ nghiệm là $-1, \frac{1}{2}$

Suy ra $u_{n}=x_{1}.(\frac{1}{2})^n+x_{2}.(-1)^n$

Ta có $x_{1}+x_{2}=u_{0}=x$, $\frac{1}{2}x_{1}-x_{2}=u_{1}=f^{-1}(x)$

$\Rightarrow x_{1}=\frac{2x+2f^{-1}(x)}{3}, x_{2}=\frac{x-2f^{-1}(x)}{3}$

$\Rightarrow u_{n}=\frac{2x+2f^{-1}(x)}{3}.(\frac{1}{2})^n+\frac{x-2f^{-1}(x)}{3}.(-1)^n$

Nếu $\frac{x-2f^{-1}(x)}{3}< 0$ thì $\lim_{n\to \infty } u_{2n}=\frac{x-2f^{-1}(x)}{3}< 0$, vô lí vì tất cả các số của dãy đều dương

Nếu $\frac{x-2f^{-1}(x)}{3}> 0$ thì $\lim_{n\to \infty } u_{2n+1}=-\frac{x-2f^{-1}(x)}{3}< 0$, cũng suy ra vô lí 

Vậy $\frac{x-2f^{-1}(x)}{3}=0$ $\forall x> 0$. Do đó $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$ nên $f(x)=2x$ $\forall x> 0$

Tương tự với trường hợp $x< 0$, ta thu được $f(x)=2x$ $\forall x< 0$. Kết hợp với $f(0)=0$ ta có $f(x)=2x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Trường hợp 2:$f$ là hàm đơn điệu giảm thực sự

Với mỗi $x\neq 0$ xét dãy $u_{0}=x, u_{n+1}=f(u_{n})$

Thế thì $u_{n+2}-u_{n+1}-2u_{n}=0$

Phương trình đặc trưng $u^2-u-2=0$ có $2$ nghiệm là $-1$, $2$

Do đó $u_{n}=x_{1}.(-1)^n+x_{2}.(2)^n$

Ta có $x_{1}+x_{2}=u_{0}=x, x_{1}-2x_{2}=u_{1}=-f(x)$

$\Rightarrow x_{1}=\frac{f(x)-2x}{3}, x_{2}=\frac{x+f(x)}{3}$

$\Rightarrow u_{n}=\frac{f(x)-2x}{3}.(-1)^n+\frac{x+f(x)}{3}.(2)^n$

Nếu $x+f(x)\neq 0$ thì

$\lim_{n\to \infty } \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim_{n\to \infty } \frac{[f(x)-2x]+2[x+f(x)](2)^n}{[2x-f(x)]+[x+f(x)](2)^n}=\lim_{n\to \infty } 2+\frac{3}{\frac{[x+f(x)](2)^n}{f(x)-2x}-1}=2$

Điều này vô lí vì $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{f(u_{n})}{u_{n}}=\frac{f(u_{n})-f(0)}{u_{n}-0}< 0$

( vì $f$ là hàm đơn điệu giảm)

Vậy $x+f(x)=0$, hay $f(x)=-x$. Kết hợp $f(0)=0$ ta được $f(x)=-x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy $f(x)=2x$ hoặc $f(x)=-x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 07-02-2014 - 10:54