Chủ đề này có 1 trả lời

[buitudong1998]

Cho a, b, c dương thỏa mãn : a+b+c=1. CMR: $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ac}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\leqslant 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$

[Kaito Kuroba]

 

Cho a, b, c dương thỏa mãn : a+b+c=1. CMR: $\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ac}+\frac{\sqrt{abc}}{c+ab}\leqslant 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$

 

 

 

để dễ làm hơn ta đặt VT BĐT là $A$.

 

Ta có:  $A=\frac{1}{1+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{1+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{c}{ab}}+\sqrt{\frac{ab}{c}}}$

 

Đặt: $\sqrt{\frac{ab}{c}}=x,\sqrt{\frac{bc}{a}}=y,\sqrt{\frac{ac}{b}}=z$ thì $xy+yz+zx=1$ và:

 

$P=\frac{1}{1+z^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{x}{1+x^{2}}$

 

Tồn tại tam giác $ABC$ sao cho $tan\frac{A}{2}=x,tan\frac{B}{2}=y,tan\frac{C}{2}=z$

 

Khi đó: 

 

$A=\frac{sinA+cosB+cosC}{2}+1$

 

Ta có: $cosB+cosC=2cos\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}\leq 2cos\frac{B+C}{2}=2sin\frac{A}{2}$

 

Ta sẽ chứng minh: $sinA+2sin\frac{A}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

$\Leftrightarrow 2t\sqrt{1-t^{2}}+2t\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

$\Leftrightarrow \left ( t-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}(16t^{2}+16\sqrt{3}t+36)\geq 0$ luôn đúng 

 

Vậy $A\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 14-02-2014 - 16:27