II. Chuyên đề: Hệ phương trình:
1. Hệ pt bậc nhất hai ẩn: (Cái này dễ rồi)
2. Hệ gồm một pt bậc nhất và 1 pt bậc cao:
Ví dụ: $\left\{\begin{matrix}x-y=2 (1)& & \\ x^2-xy+2x-3y=9 (2)& & \end{matrix}\right.$
Nếu không có gì đặc biệt thì dùng phương pháp thế là ra, thay ở pt 1 vào pt 2.
3. Hệ đối xứng loại $I$: Hệ gồm 2 phương trình ẩn $x,y$ mà vai trò $x,y$ trong mỗi phương trình là như nhau
Ví dụ: $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=5 (1) & & \\ x+xy+y=5 (2) & & \end{matrix}\right.$
Cách giải:
Đặt $x+y=u$; $xy=v$.
Hệ trở thành: $\left\{\begin{matrix}u^2-v=5 & & \\ u+v=5 & & \end{matrix}\right.$
4. Hệ đối xứng loại $II$: Cũng như loại $I$, loại $II$ cũng “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa $2$ phương trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như loại $I$. Một cách khác nhận dạng loại pt này là cho $x=y$ thì 2 phương trình của hệ như nhau. Hay nói cách khác $x=y$ chính là nghiệm của hệ. Đây chính là đặc điểm khai thác của hệ này.
Ví dụ: $\left\{\begin{matrix}x^3=2x-3y (1) & & \\ y^3=2y-3x (2) & & \end{matrix}\right.$
Cách giải: Trừ theo vế của $(1)$ cho $(2)$ được: $(x-y)(x^2+xy+y^2-5)=0$
5. Hệ đẳng cấp bậc $2$:
Tổng quát: $\left\{\begin{matrix}ax^2+bxy+cy^2=d & & \\ mx^2+nxy+py^2=q & & \end{matrix}\right.(a^2+b^2+c^2\neq 0;m^2+n^2+p^2\neq 0)$
Cách giải:
+ Xét $x=0$ hoặc $y=0$
+ Xét $x\neq 0$. Đặt $y=kx$ thay trở lại hpt.
Khử hệ số $d;q$, chuyển về dạng pt: $a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=0$
Khử một biến bậc hai, chẳng hạn là biến $y^2$. Rút $y$ theo $x$, thay vào một trong hai pt của hpt, ta thu được pt trùng phương.
*) Chú ý:
+ Đối với hệ đối xứng loại $I;II$, nếu $(x;y)$ là nghiệm của hpt thì $(y;x)$ cũng là nghiệm của hpt.
Vậy nên ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất là $x=y$
+ Đối với hệ đẳng cấp, nếu $(x;y)$ là nghiệm của hpt thì $(-x;-y)$ cũng là nghiệm của hpt.
Vậy nên ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất là $x=y=0$
Bài tập: Giải các hệ pt sau:
97) $\left\{\begin{matrix}(x^2+2x)(3x+y)=18 & & \\ x^2+5x+y=9 & & \end{matrix}\right.$
98) $\left\{\begin{matrix}x(x+2)(2x+y)=9 & & \\ x^2+4x+y=6 & & \end{matrix}\right.$
99) $\left\{\begin{matrix}x^3=3x+8y & & \\ y^3=3y+8x & & \end{matrix}\right.$
100) $\left\{\begin{matrix}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30 & & \\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35 & & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 09-04-2014 - 22:13