Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa :
$$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2012}$$
Chứng minh rằng : $$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\geq 2012$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 23-02-2014 - 00:30
Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa $abc+bcd+....$. Chứng minh rằng $\prod (a^2+1)\geq 2012$
Bắt đầu bởi Near Ryuzaki, 23-02-2014 - 00:29
#2
Đã gửi 23-02-2014 - 01:23
angleofdarkness
-
- Thành viên
-
- 246 Bài viết
Thượng sĩ
Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa :
$$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2012}$$
Chứng minh rằng : $$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\geq 2012$$
Ta có $\sqrt{2012}=abc+bcd+cda+dab-a-b-c-d \\ =a(bc-1)+d(bc-1)+c(ad-1)+b(ad-1) \\ =(bc-1)(a+d)+(b+c)(ad-1)$
$\Rightarrow 2012=[(bc-1)(a+d)+(b+c)(ad-1)]^2 \\ \leq [(bc-1)^2+(b+c)^2].[(ad-1)^2+(a+d)^2] \\ = (b^2c^2-2bc+1+b^2+c^2+2bc).(a^2d^2-2ad+1+a^2+d^2+2ad) \\ =(b^2+1)(c^2+1).(a^2+1)(d^2+1)$
(BĐT B.C.S)
$\Rightarrow$ đpcm.
Dấu = khi ....
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 23-02-2014 - 10:11
- Phuong Thu Quoc, Near Ryuzaki, Super Fields và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 23-02-2014 - 06:02
buitudong1998
-
- Thành viên
-
- 873 Bài viết
Trung úy
Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa :
$$abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+\sqrt{2012}$$
Chứng minh rằng : $$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)\geq 2012$$
Bài này là câu 3 trong đề thi HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012
Đứng dậy và bước tiếp
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
