Chủ đề này có 4 trả lời

[black zero 1999]

Cho a,b nguyên dương thay đổi thoả mãn: $\frac {ab+1}{a+b} < \frac {3}{2}$. Tìm max $P = \frac {a^3b^3+1}{a^3+b^3}$

[bacninhquehuongtoi]

máy mình chưa tải được phần mềm latex nên các bạn cố gắng đọc

 

Cho a,b nguyên dương thay đổi thoả mãn: $\frac {ab+1}{a+b} < \frac {3}{2}$. Tìm max $P = \frac {a^3b^3+1}{a^3+b^3}$

 

Ta c/m rằng 1 trong 2 số a và b phải có ít nhất một số nhỏ hơn 2. Thật vậy giả sử ngược lại a>=3 và b>=3. Không mất tính tổng quát ta giả sử 3<=a<=b

Ta có (ab+1)/(a+b)>=(3b=1)/(a+b)>=(3b+1)/(2b)>3/2 (mâu thuẫn)

Giar sử a<=2 suy ra a=1 hoặc a=2

với a=1 khi đó P=1

với a=2 nên P=(8b^3+1)/(b^3+1)

Từ giả thiết nên ta chặn đươc b<4

mà b nguyên dương nên ta tìm được các giá trị của b rồi thay vào tính P

Ta nhận được maxP =217/35 khi a=2 b=3 hoặc a=3 b=2

nhưng đây là bài 5 trong đề thi ĐHKHTN HN vòng 1 năm 2008-2009

[angleofdarkness]

Ta c/m rằng 1 trong 2 số a và b phải có ít nhất một số nhỏ hơn 2.

 

Thật vậy giả sử ngược lại $a; \geq 3$ Không mất tính tổng quát ta giả sử $3 \leq a \leq b$

 

Ta có $\frac{ab+1}{a+b} \geq \frac{3b+1}{a+b} \geq \frac{3b+1}{2b}>\frac{3}{2}$ (mâu thuẫn)

 

Giả sử $a \leq 2$ suy ra a = 1 hoặc a = 2

 

- Với a = 1 khi đó P = 1.

 

- Với a = 2 thì $P=\frac{8b^3+1}{b^3+8}$

 

Từ giả thiết nên ta chặn đươc b < 4 mà b nguyên dương nên ta tìm được các giá trị của b rồi thay vào tính P

 

Ta nhận được max P $=\frac{217}{35}=\frac{31}{5}$ khi a = 2; b = 3 hoặc a = 3 b = 2

 

P/S: Đây là bài 5 trong đề thi ĐHKHTN HN vòng 1 năm 2008-2009

 

(Mình chỉ sửa lại latex cho dễ nhìn thôi )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 27-02-2014 - 12:14

[Kaito Kuroba]

Cho a,b nguyên dương thay đổi thoả mãn: $\frac {ab+1}{a+b} < \frac {3}{2}$. Tìm max $P = \frac {a^3b^3+1}{a^3+b^3}$

 

 

 

hoặc một hướng khác như thế này:

ta có: $\frac{ab+1}{a+b}< \frac{3}{2}\Leftrightarrow 3a+3b<2ab+2\Leftrightarrow (2a-3)(2b-3)<5    (1)$

từ biểu thức cho ta thấy tôn ftiaj ít nhất trong 2 số a hoặc nhỏ hơn 3. nếu $a\geq 3;b\geq 3\Rightarrow (2a-3)(2b-3)\geq 9$ sẽ dẫn đến mâu thuẫn.

 

giã sử: $0<a<3$ thì: $\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}=\frac{b^3+1}{1+b^3}=1$

xét $a=2$ thay vào (1) ta được: $(2a-3)(2b-3)=2b-3<5\Rightarrow b<4$

thay $a=2$ vào $P$ ta có: $P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}=\frac{8b^3+1}{8+b^3}$

 

đến đây làm tương tự như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 28-02-2014 - 11:55

[angleofdarkness]

chắc do gõ nhầm.

Max P=$\frac{31}{5}$

 

 

Không phải nhầm, chỉ là quên rút gọn thôi, kq rút gọn vẫn ra Max P=$\frac{31}{5}$ mà