Chủ đề này có 4 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

                                       CHUYÊN ĐỀ LTĐH DAO ĐỘNG CƠ

I.LÝ THUYẾT VỀ ĐẠI CƯƠNG DĐĐH.

1.Mối liên hệ giữa các phương trình.

$$x = A\cos (\omega t + \partial )$$(phương trình li độ)

 $$v = x' = - A\omega \sin (\omega t + \partial ) = A\omega \cos \left( {\omega t + \partial + \frac{\pi }{2}} \right)$$(phương trình vận tốc)

 $$a = v' = - A{\omega ^2}\cos (\omega t + \partial ) = A{\omega ^2}\cos (\omega t + \partial + \pi )=-\omega^{2}x$$(phương trình gia tốc)

Từ phương trình trên, ta nhận thấy:

+Cả $x,a,v$ nhận giá trị min và max tùy vào phần lượng giác.

+$v$ sớm pha hơn $x$ 90 độ, $a$ sớm pha hơn $v$ 90 độ, $a$ ngược pha với $x$.

+$\left | x \right |$ càng lớn thì $\left | a \right |$ càng lớn.

2.Đường tròn lượng giác.

 

Dựa trên vòng tròn lượng giác và chuyển động thực tế của vật ta có nhận xét sau:

+$\overrightarrow v$ luôn cùng chiều với chiều chuyển động hay cụ thể hơn là vật chuyển động theo chiều dương thì $v>0$ và ngược lại.

+$\left| v \right|$ đạt max tại vị trí cân bằng, đạt min tại vị trí biên.

+$\left| a \right|$ đạt max tại vị trí biên, đạt min tại VTCB.

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LI ĐỘ KHÁC:

$$x = a \pm A\cos (\omega t + \partial )$$

$$x = a \pm A{\cos ^2}(\omega t + \partial )$$

3.Các hệ thức độc lập, liên qua đến lực, năng lượng.

Lực phục hồi:

$$F = ma$$

Các bạn có thể khai triển thêm theo $a$ hoặc theo công thức $$k = m{\omega ^2}$$

Các hệ thức độc lập:

$${A^2} = {x^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2} = {\left( {\frac{a}{{{\omega ^2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2} = {\left( {\frac{F}{k}} \right)^2} + {\left( {\frac{v}{\omega }} \right)^2}$$

Năng lượng:

+Cơ năng được bảo toàn và $W=\frac{1}{2}kA^{2}$

+Động năng: $W_{d}=\frac{1}{2}mv^{2}$

+Thế năng: $W_{t}=\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$

+Khi tính động năng tại vị trí có li độ $x$ thì: $W_{d}=\frac{1}{2}k(A^{2}-x^{2})$

+Trong dao động điều hòa, cơ năng và thế năng biến thiên với tần số góc $2\omega$, tần số $2f$ và chu kì $\frac{T}{2}$

+Trong một chu kỳ có 4 lần cơ năng bằng thế năng, khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp là $\frac{T}{4}$.

II.BÀI TẬP ĐẠI CƯƠNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.

1.Dạng toán tính t(min) để vật đi từ $x_{1}$ đến $x_{2}$.

Dùng vòng tròn lượng giác với công thức:

$$\Delta t = \frac{{\Delta \partial }}{\omega }$$

BÀI TẬP MINH HỌA: Một vật dao động với phương trình: $x=10\sin (2\pi t+\frac{\pi}{2})$(cm).Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí $x=\frac{-A}{2}$ đến $x=\frac{A\sqrt{2}}{2}$.

                                                                              Giải

Áp dụng vòng tròn lượng giác dễ thấy quỹ đạo di chuyển quay được một góc $\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12}$.Áp dụng công thức, ta có:

$$\Delta t = \frac{{\Delta \partial }}{\omega }=\frac{\frac{5\pi}{12}}{2\pi}=0,21(s)$$

2.Tính quãng đường đi được trong thời gian t.

+Nếu $\frac{t}{T}<1$ thì áp dụng công thức ở dạng toán 1.

+Nếu $\frac{t}{T}>1$ thì ta phân tích thành $t=aT+t_{1}$.Trong đó a là phần nguyên của phép chia $\frac{t}{T}$, còn $t_{1}$ là phần thời gian lẻ còn lại.

Với $aT$ thì $S=a.4A$

Phần lẻ tính như dạng toán 1.

BÀI TẬP MINH HỌA: Một vật dao động điều hòa có phương trình $x=2\cos (10\pi t-\frac{\pi}{3})$(cm).Tính quãng đường vật đi trong 1,1s đầu tiên.

                                                                              Giải

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=0,2s$$

Ta có: $\frac{t}{T}=\frac{1,1}{0,2}=5,5$

Suy ra $t=5T+\frac{1}{2}T$.

Vậy $S=20A+2A=22A=44cm$

BÀI TẬP MINH HỌA: Một vật dao động điều hòa với phương trình: $x=4\cos (\pi t-\frac{\pi}{2})$.Tính quãng đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên.

                                                                             Giải

Tương tự bài trên, ta tính được:

$t=T+0,25s$

Chỉ cần giải quyết 0,25s này.Vẽ đường tròn lượng giác ra, sau khi đi hết T thì vật trở lại vị trí ban đầu và đi tiếp 0,25s này.

Cần xác định trong 0,25s này vật đi theo chiều dương hay âm hoặc lúc âm lúc dương.

Vị trí ban đầu ở góc phần tư thứ tư và muốn đi hết góc phần tư này cần 0,5s tức là $\frac{T}{4}$.Vậy trong thời gian 0,25s này vật không đổi chiều và quét một góc $\frac{\pi}{4}=2\sqrt{2}$

Bài toán giải quyết xong!

Kết luận:Qua 2 bài toán trên, ta thấy đều cho biết trạng thái chuyển động như đầu tiên,... Không có bài toán nào tự dưng cho thời gian t mà tính S cả vì có vô số trường hợp cho t đó.

Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất trong thời gian T.

Dùng công thức:

$$S_{max}=2A\sin\frac{\Delta\varphi }{2}$$

$$S_{max}=2A(1-\cos\frac{\Delta\varphi }{2})$$

 

 

                              UPDATING....

BÀI TẬP CHO PHẦN NÀY:

1.(CĐ 2007) Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ $A$, chu kì dao động $T$, ở thời điểm ban đầu $t_{0}=0$ vật đang ở vị trí biên.Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm $t=\frac{T}{4}$  là bao nhiêu?

2.(ĐH 2007)Một vật nhỏ thực hiên dao động điều hòa theo phương trình $x=10\sin(4\pi t+\frac{\pi}{2})$( cm) với t tính bằng giây.Động năng của vật đó biến thiên với chu kì bằng bao nhiêu?

3.(CĐ 2008) Một vật dao động điều hòa dọc theo trịc $Ox$, quanh vị trí cân bằng O với biên độ $A$ và chu kì $T$.Trong khoảng thời gian $\frac{T}{4}$, quãng đường lớn nhất và vật có thể đi được là bao nhiêu?

4.(ĐH 2008) Cơ năng của vật dao động điều hoà:

A. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kì bằng một nửa chu kì dao động của vật.

B. tăng gấp đôi khi biên độ dao động của vật tăng gấp đôi.

C. bằng động năng của vật khi vật tới VTCB.

D. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kì bằng chu kì dao động của vật.

5.(ĐH 2009) Một vật dao động điều hoà theo một trục cố định( mốc thế năng ở VTCB) thì:

A. động năng của vật cực đại khi gia tốc của vật có độ lớn cực đại.

B. khi vật đi từ VTCB ra biên, vận tốc và gia tốc của vật luôn cùng dấu.

C. khi ở VTCB thế năng của vật bằng cơ năng.

D. thế năng của vật đạt cực đại khi vật ở vị trí biên

Các bạn nào muốn ủng hộ topic mình thì nên post lời giải kĩ càng, không nên spam trong topic, khuyến khích hỏi về chuyên môn, mình sẽ up lời giải và quan điểm của mình lên nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 28-02-2014 - 21:01

[Tran Hoai Nghia]

                                       LỜI GIẢI PHẦN BÀI TẬP

1.Theo đề bài, ta có:

$\frac{T}{4} = \frac{{\Delta \partial }}{\omega } \Leftrightarrow \frac{T}{4} = \frac{{T.\Delta \partial }}{{2\pi }} \Leftrightarrow \Delta \partial  = \frac{\pi }{2}$

Vậy là vật quay được 90 độ từ vị trí biên đến VTCB, suy ra $S=A$.

2. Động năng biến thiên với chu kì $\frac{T}{2} = 0,25s$

3. Sau $\frac{T}{4}$ vật quay được 90 độ, áp dụng công thức, ta có:

${S_{\max }} = 2A\sin \left( {\frac{{\Delta \partial }}{2}} \right) = 2\sqrt 2 A$

4. Cơ năng là HẰNG SỐ, không biến thiên nên ta dễ chọn câu C.

5.Ta có: ${W_t} = \frac{1}{2}k{x^2}$

Vậy thế năng đạt cực đại khi ở vị trí biên.

   UPDATING......

P/s: lập topic mấy ngày mà không thấy ai ủng hộ :sosad:

[Tran Hoai Nghia]

3.TÌM SỐ LẦN VẬT ĐI QUA VỊ TRÍ ĐÃ BIẾT TỪ THỜI ĐIỂM T1 ĐẾN T2.

BÀI TẬP MINH HỌA:(ĐH 2008) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình $x = 3\sin \left( {5\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)$.Trong một giây đầu tiên từ thời điểm $t=0$, chất điểm đi qua vị trí có li độ $x=1$ cm mấy lần?

                                                                          GIẢI

Trước hết ta cần tính $$T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 0,4 s$$

Vậy trong 1s đầu tiên thì vật thực hiên được 2 chu kỳ và một nửa chu kì còn lại.Vẽ ĐTLG, xác định góc $\varphi $ và điểm có tọa độ $x=1$ cm.

Dễ thấy sau 2 chu kì thì vật đi qua vị trí $x=1$ cm 4 lần, và nửa chu kì tiếp theo đi qua 1 lần.Vậy có tất cả 5 lần.

QUA BÀI TOÁN TRÊN, TA CÓ THỂ MÔ TẢ CÁCH GIẢI DẠNG TOÁN TRÊN THEO ĐTLG:

B1: Tính T, so sánh $t = {t_2} - {t_1}$ với T.

B2: Nếu $t<T$ thì ta áp dụng công thức $t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega }$ để tìm góc quay được( nhớ là xuất phát phải từ góc  $\varphi $), rồi xem trong quá trình di chuyển thì có đi qua vị trí yêu cầu không.

Nếu  $t>T$ thì ta thực hiên phép chia t cho T, phần nguyên chính là số chu kì mà vật đã thực hiện được, phần thời gian lẻ thì ta tính như trên.( Nhớ chú ý góc $\varphi $ )

 Dạng bài tập này hiếm khi cho!

4.TÍNH THỜI ĐIỂM VẬT ĐI QUA VỊ TRÍ ĐÃ BIẾT LẦN THỨ n.

TA CÓ MỘT SỐ CÔNG THỨC HAY NHƯ SAU:

$${W_d} = n{W_t} \Rightarrow x =  \pm \frac{A}{{\sqrt {n + 1} }}$$

Công thức này có được là do biến đổi toán học:

${W_d} = n{W_t} \Rightarrow W = {W_d} + {W_t} \Leftrightarrow k{A^2} = 2(n + 1){W_t} \Leftrightarrow k{A^2} = (n + 1)k{x^2}$

Từ đây, ta còn có thể thiết lập các công thức theo gia tốc, vận tốc.

Ngược lại khi $x =  \pm \frac{A}{n} \Rightarrow \frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = {n^2} - 1$

Lưu ý: n là một số tuỳ ý.

BÀI TẬP MINH HỌA: Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = A\cos \left( {\frac{\pi }{2}t + \frac{\pi }{4}} \right)$.Thời điểm động năng bằng ba lần thế năng lần thứ 2013 là?

(Đề thi thử đại học lần 4 chuyên KHTN 2013)

                                                                          GIẢI

Áp dụng công thức, ta có: ${W_d} = 3{W_t} \Rightarrow x =  \pm \frac{A}{2}$

Vẽ ĐTLG biểu thị toạ độ của các thời điểm  ${W_d} = 3{W_t}$ và vị trí ban đầu.Nhận thấy 1 chu kì vật đi qua vị trí yêu cầu 4 lần, suy ra 503 chu kì qua 2012 lần, suy ra $t=2012s$.

Lần cuối cùng, ta áp dụng VTLG và công thức tính được:
$\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}}}{{\frac{\pi }{2}}} = \frac{1}{6}s$$

Vậy thời điểm cần tìm là $2012\frac{1}{6}$.

                                                                  BÀI TẬP

1. Một vật dao động điều hòa theo trục Ox có phương trình li độ: $x = 8\cos 2\pi t$.Tính từ thời điểm ban đầu $t=0$, thời gian vật qua VTCB, theo chiều âm, lần thứ 2013 là?

(Đề thi thử đại học chuyên Lương Văn Tụy năm 2013 lần 1-Ninh Bình).

                                                            UPDATING.....

Lần sau mình sẽ tông hợp các dạng toán về nhiều vật cùng dao động điều hòa, tổng hợp dao động và các thủ thuật máy tính cùi... 

[Ispectorgadget]

                                                                  BÀI TẬP

1. Một vật dao động điều hòa theo trục Ox có phương trình li độ: $x = 8\cos 2\pi t$.Tính từ thời điểm ban đầu $t=0$, thời gian vật qua VTCB, theo chiều âm, lần thứ 2013 là?

(Đề thi thử đại học chuyên Lương Văn Tụy năm 2013 lần 1-Ninh Bình).

                            

@_^) Bài này khá quen thuộc

$T=1s$

Tại thời điểm $t=0$ thì $x=8$.

Trong thới gian $T/4$ thì vật tới vtcb theo chiều âm lần 1.

Trong 1 chu kì 1 lần vật qua vtcb theo chiều âm  nên ta có

$\frac{T}{4}+2012T=\frac{4049}{4}s$

[Tran Hoai Nghia]

2.HAI VẬT CÙNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Bài toán 1: hai vật dao động vuông pha nhau $\Delta \varphi  = (2k + 1)\frac{\pi }{2}$

Hai dao động ta xét là 2 dao động có cùng $\omega $.

Trước hết ta cần nhớ công thức sau:

   $${\left( {\frac{{{x_1}}}{{{A_1}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{A_2}}}} \right)^2} = 1$$

VÀ ĐÂY LÀ LÍ DO CÓ CÔNG THỨC ĐÓ:

Theo bài toán trên, giả sử dao động 1 có vận tốc: ${v_1} =  - {A_1}\omega \sin \varphi $(1)

Do hai dao động vuông pha nên vận tốc của dao động 2 là:  ${v_2} =  - {A_2}\omega \sin \left( {\varphi  + \frac{\pi }{2}} \right) = {A_2}\omega \cos \varphi $(2)

Áp dụng công thức với (1), ta có:

$${A_1}^2 = x_1^2 + \frac{{v_1^2}}{{{\omega ^2}}} = x_1^2 + A_1^2{\sin ^2}\varphi  \Rightarrow A_1^2{\cos ^2}\varphi  = x_1^2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{A_1}}}} \right)^2} = {\cos ^2}\varphi $$

Tương tự, ta có:

$${\left( {\frac{{{x_2}}}{{{A_2}}}} \right)^2} = {\sin ^2}\varphi $$

Cộng lại ta có đpcm.   

Bài toán 2: Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật có cùng li độ

Hai vật có cùng biên độ A với chu kì ${T_1}$ và ${T_2}$ lúc đầu 2 vật cùng xuất phát từ một vị trí ${x_0}$ theo cùng một chiều chuyển động.Điều này có nghĩa là pha ban đầu là như nhau (${\varphi _0}$).

Xét ${T_1}$>${T_2}$ nên vật 2 đi nhanh hơn vật 1, giả sử chúng gặp nhau tại ${x_1}$:

Với $\varphi  < 0$:

thì 2 vật chuyển động theo chiều âm, dễ thấy chúng có cùng li độ đầu tiên khi $\angle FOA = \angle GOA$ suy ra

$$\left| \varphi  \right| - {\omega _1}t = {\omega _2}t - \left| \varphi  \right| \Leftrightarrow t = \frac{{2\left| \varphi  \right|}}{{{\omega _1} + {\omega _2}}}$$

Lập luận tương tự, với trường hợp $\varphi  > 0$, ta có:

$$(\pi  - \varphi ) - {\omega _1}t = {\omega _2}t - (\pi  - \varphi ) \Leftrightarrow t = \frac{{2(\pi  - \varphi )}}{{{\omega _1} + {\omega _2}}}$$

Bài toán 3:Hiện tượng trùng phùng

Hai vật có chu kì xấp xỉ nhau T và T’ ( giả sử T<T’) bắt đầu dao động tính từ lúc t=0, sau khoảng thời gian $\Delta t$, vật có chu kì T thực hiện được n dao động thì vật có chu kì T’ thực hiện đúng n+1 dao động.Người quan sát ghi lại những lần chúng đi qua VTCB cùng lúc, cùng chiều( gọi là hiện tượng trùng phùng).Gọi $\theta $ là thời gian 2 lần trùng phùng liên tiếp nhau.

  $$\theta  = \frac{{T.T'}}{{T - T'}}$$

BÀI TẬP: Phần này rất ít cho trong đề, nhưng mình đã cố gắng tìm đề bài:

Câu 1 chuyên Lê Khiết-lần 1 năn 2014)  Một vật nhỏ thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số ${x_1} = 2\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\,(cm)$ và${x_2} = {A_2}c{\rm{os(2}}\pi {\rm{t  +  }}{\varphi _{\rm{2}}}{\rm{) (cm)}}$; t đo bằng giây. Biết rằng tại thời điểm t =  1/6 s, vật nhỏ có li độ bằng 1/2  biên độ và bằng 1 cm, đang chuyển động theo chiều âm. Vậy :

A. ${A_2} = 2\,cm;\,{\varphi _2} = \frac{\pi }{3}.$    

B.  ${A_2} = 1\,cm;\,{\varphi _2} = \frac{\pi }{3}.$

C. ${A_2} = 1\,cm;\,{\varphi _2} = \frac{{ - \pi }}{3}.$

D. ${A_2} = 2\,cm;\,{\varphi _2} = \frac{{ - \pi }}{3}.$                                                                  

 

3.TỔNG HỢP DAO ĐỘNG*  ( từ bây giờ những dạng toán dấu * là những dạng phổ biến, quan trọng)

Chỉ cần nhớ thủ thuật máy tinh này( chắc quen hết rồi).Áp dụng cho 570ES trở lên( đơn vị do góc là RAD nhé)

-Bấm chọn

MOD 2

màn hình hiển thị chữ

CMPLX

.

 

-Ví dụ cho sẵn phương trình của 2 dao động kêu tìm dao động tổng hợp thì bấm như sau:

biên độ 1 SHIFT (-) góc 1 + biên độ 2  SHIFT (-) góc 2

Ở đây 1 và 2 là phương trình dao động thứ nhất, thứ 2.

-Bấm = thì kết quả hiển thị số phức dạng

a+bi

; bấm

SHIFT 2 3 =

sẽ hiển thị kết quả dạng $A\angle \varphi $ với A là biên độ dao động tổng hợp, $\varphi $ là góc của dao động tổng hợp

 

+Với nhiều dao động hơn thì ta cứ việc thực hiện y chang như vậy, 3 dao động thì thêm 1 biên độ và 1 góc.

+Có bài toán cho phương trình dao động tổng hợp và 1 phương trình của dao động thành phần, kêu tìm phương trình của dao động thành phần kia.Cái này thì chúng ta thực hiện bình thường, ví dụ như trên là $A+B=C$ thì $B=C-A$.

Khoảng cách giữa 2 dao động

Gần như tương tự như trên, nhập ${A_1}\angle {\varphi _1} - {A_2}\angle {\varphi _2}$ rồi

SHIFT 2 3 =

hiển thị $A'\angle \varphi '$. A’ là khoảng cách cần tìm.

 

Điều kiện của  ${A_1}$ để ${A_2}$ lớn nhất

$${A_{2\max }} = \frac{A}{{\left| {\sin ({\varphi _1} - {\varphi _2})} \right|}}$$

$${A_1} = \frac{A}{{\left| {\tan ({\varphi _1} - {\varphi _2})} \right|}}$$

Nếu cho ${A_2}$, thay đổi ${A_1}$,  tìm điều kiện để $A$ nhỏ nhất:

$${A_{\min }} = {A_2}\left| {\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right| = {A_1}\left| {\tan \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right|$$

BÀI TẬP

1.(Đề thi thử số 1 vật lí tuổi trẻ) Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là ${{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{ =  }}{{\rm{A}}_{\rm{1}}}{\rm{cos(\omega t  + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{) (cm)}}$và${{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{ =  }}{{\rm{A}}_2}{\rm{cos(\omega t  + }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}{\rm{) (cm)}}$. Phương trình dao động của vật có dạng\[{\rm{x  =  3}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{ cos(\omega t  +  \varphi )(cm)}}\]. Để biên độ ${{\rm{A}}_{\rm{2}}}$có giá trị lớn nhất thì giá trị của biên độ ${{\rm{A}}_{\rm{1}}}$ bằng

A. ${\rm{3}}\sqrt {\rm{2}} {\rm{ cm}}$.                                 

B. 3 cm.                               

C. ${\rm{6}}\sqrt {\rm{2}} {\rm{ cm}}$.                                 

D. 6 cm.

2.( Đề thi thử số 1 vật lí tuổi trẻ) Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình: ${x_1} = {A_1}\cos (2\pi t)(cm)$và${x_2} = 2,5\sqrt 3 \cos (2\pi t + {\phi _2})(cm)$. Phương trình dao động tổng hợp thu được là: $x = 2,5\cos (2\pi t + \phi )(cm)$. Biết $\phi  < {\phi _2}$ và A₁ đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của φ₂ và φ là:

A. $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}$                          

B. $ - \frac{\pi }{6},\frac{{2\pi }}{3}$                           

C. $\frac{\pi }{3}, - \frac{\pi }{2}$                                

D. $\frac{{5\pi }}{6},\frac{\pi }{3}$

Do chuẩn bị thi học kì và giải quyết một số vấn đề khác nên mình upload chậm quá.Hôm nay thấy topic mình số view tăng vọt nên up luôn để phục vụ các bạn.Phần bài tập mình đang tìm, sẽ upload nhanh.

Kì tới sẽ chuyên sâu vào con lắc lò xo.