Chủ đề này có 1 trả lời

[Mi Chance]

cho a,b,c dương. Cm:

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^{2}$

 

MOD: Chú ý cách đặt tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-03-2014 - 21:58

[lahantaithe99]

cho a,b,c dương. Cm:

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^{2}$

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có 

 

$\frac{5}{16}(a+b+c+1)^2\leqslant \frac{5}{16}(a^2+1)(1+(b+c+1)^2)$

 

Giờ cần cm $\frac{5}{16}(1+(b+c+1)^2)\leq (b^2+1)(c^2+1)$

 

$\Leftrightarrow \frac{5}{8}bc+\frac{5}{8}b+\frac{5}{8}c\leqslant b^2c^2+\frac{11}{16}b^2+\frac{11}{16}c^2+\frac{3}{8}$ (khai triển) $(1)$

 

 

Áp dụng bđt Cô si

 

$\frac{1}{16}+b^2c^2\geqslant \frac{1}{2}bc$

 

$\frac{5}{32}+\frac{5b^2}{8}\geqslant \frac{5}{8}b$

 

$\frac{5}{32}+\frac{5c^2}{8}\geqslant \frac{5}{8}c$

 

$\frac{1}{16}b^2+\frac{1}{16}c^2\geqslant \frac{1}{8}bc$

 

Cộng theo từng vế ta có bđt $(1)$

 

do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 15-03-2014 - 20:53