ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI 2013-2014
Câu 1 :
Giải phương trình $$\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{x^2-x+1}=2x+1$$
Câu 2 :
Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa $$cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}=4sin^2C$$
Chứng minh tam giác $ABC$ đều.
Câu 3 :
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh :
$$\dfrac{a}{a+6bc}+\dfrac{b}{b+6ca}+\dfrac{c}{c+6ab}\geq 1$$
Câu 4 : Cho hai số nguyên dương lẻ $m,n$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} n\mid m^2+2\\ m\mid n^2+2 \end{matrix}\right.$
1) Tìm một cặp gồm hai số nguyên dương $(m,n)$ thỏa mãn điều kiện trên mà $m,n>10$ và $m,n$ đều lẻ.
2) Chứng minh $4mn\mid m^2+n^2+2$
Câu 5 : Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn nội tiếp tam giác, tiếp điểm trên $AB,AC$ lần lượt là $D,E$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $OB$ và $DE$, $OC$ và $DE$.
Chứng minh rằng :
$$MN=BC.sin\dfrac{A}{2}$$