Chủ đề này có 4 trả lời

[yeutoan2604]

Cho $a,b,c,d>0;abc+bcd+cda+dab=1$ $MinA=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

[buitudong1998]

Cho $a,b,c,d>0;abc+bcd+cda+dab=1$ $MinA=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

Đề thi vào 10 KHTN năm ngoái

[yeutoan2604]

Đề thi vào 10 KHTN năm ngoái

Cho xin cái lời giải

[Kaito Kuroba]

Cho $a,b,c,d>0;abc+bcd+cda+dab=1$ $MinA=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

 

 

để giải được bài này ta cần phải tim điểm rơi của bài toán!!!

 

ta có:$\sum \left ( \frac{d^3}{3}+\frac{a^3}{3x^3}+\frac{b^3}{3x^3} \right )\geq \sum \frac{dab}{x^2}$

từ đây ta suy ra: $d^3+\left ( \frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^2} \right )\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\geq \frac{1}{x^2}\left ( dab +dbc+dca+abc\right )$

ta cần tim $x>0$sao cho$\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^2}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow 2+x=\frac{4}{3}x^3\Leftrightarrow 4x^3-3x=6$

chọn $x=\frac{1}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )$ ta thu được: $\frac{1}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )^3-\frac{3}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )=6 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( y^3+\frac{1}{y^3} \right )+\frac{3}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )-\frac{3}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )=6\Leftrightarrow y^6-12y^3+1=0$           ($y=\sqrt[3]{6+\sqrt{35}},y=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left ( \sqrt[3]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{35}} \right )$)

 

với x tìm được ta có:

$d^3+\frac{4}{9}\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\geq \frac{1}{x^2}
\Leftrightarrow 9d^3+4(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{9}{x^2}=\frac{36}{\left ( \sqrt[3]{6+\sqrt{35}} +\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\right )^2};

"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[3]{\frac{x}{x+3}},d=\sqrt[3]{\frac{1}{x^3+3x^2}}$

vậy Min A=$\frac{36}{\left ( \sqrt[3]{6+\sqrt{35}} +\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\right )^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 05-04-2014 - 12:00

[yeutoan2604]

để giải được bài này ta cần phải tim điểm rơi của bài toán!!!

 

ta có:$\sum \left ( \frac{d^3}{3}+\frac{a^3}{3x^3}+\frac{b^3}{3x^3} \right )\geq \sum \frac{dab}{x^2}$

từ đây ta suy ra: $d^3+\left ( \frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^2} \right )\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\geq \frac{1}{x^2}\left ( dab +dbc+dca+abc\right )$

ta cần tim $x>0$sao cho$\frac{2}{3x^3}+\frac{1}{3x^2}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow 2+x=\frac{4}{3}x^3\Leftrightarrow 4x^3-3x=6$

chọn $x=\frac{1}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )$ ta thu được: $\frac{1}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )^3-\frac{3}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )=6 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( y^3+\frac{1}{y^3} \right )+\frac{3}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )-\frac{3}{2}\left ( y+\frac{1}{y} \right )=6\Leftrightarrow y^6-12y^3+1=0$           ($y=\sqrt[3]{6+\sqrt{35}},y=\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left ( \sqrt[3]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{35}} \right )$)

 

với x tìm được ta có:

$d^3+\frac{4}{9}\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\geq \frac{1}{x^2}
\Leftrightarrow 9d^3+4(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{9}{x^2}=\frac{36}{\left ( \sqrt[3]{6+\sqrt{35}} +\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\right )^2};

"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt[3]{\frac{x}{x+3}},d=\sqrt[3]{\frac{1}{x^3+3x^2}}$

vậy Min A=$\frac{36}{\left ( \sqrt[3]{6+\sqrt{35}} +\sqrt[3]{6-\sqrt{35}}\right )^2}$

Không có cách làm nào dễ hơn hả bạn