Chủ đề này có 8 trả lời

[Yagami Raito]

$\boxed{1}$

Cho $n$ số thực $x_1;x_2;...,x_{n}$ với $n\geq 3$

Kí hiệu max{$x_1,x_2,...,x_{n}$} là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_{n}$

Chứng minh rằng: 

max{$x_1,x_2,..,x_{n}$} $\geq \dfrac{\sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+...+|x_{n-1}-x_{n}|+|x_{n}-x_1|}{2n}$

 

$\boxed{2}$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $a \leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1,a+b\geq c$

 

Tìm min của

$$Q=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

 

 

$\boxed{3}$

Với mỗi số $n$ nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cộ định, xét các tập $n$ số thực đôi một khác nhau X={$x_1,x_2,...,x_{n}$}.Kí hiệu $C(X)$ là số các giá trị khác nhau của tổng $x_{i}+x_{j}$ $(1\leq i \leq j\leq n)$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $C(x)$

[buiminhhieu]

 

 

 

$\boxed{3}$

Với mỗi số $n$ nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cộ định, xét các tập $n$ số thực đôi một khác nhau X={$x_1,x_2,...,x_{n}$}.Kí hiệu $C(X)$ là số các giá trị khác nhau của tổng $x_{i}+x_{j}$ $(1\leq i \leq j\leq n)$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $C(x)$

Không mất tính tổng quát G/S 

$x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$

Do đó $x_{1}+x_{2}<x_{1}+x_{3}<...<x_{1}+x_{n}<x_{2}+x_{n}<x_{3}+x_{n}<...<x_{n-1}+x_{n}$

Tù đó MIN $C(X)$=n-1+n-2=2n-3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 05-04-2014 - 17:36

[Hoang Tung 126]

$\boxed{1}$

Cho $n$ số thực $x_1;x_2;...,x_{n}$ với $n\geq 3$

Kí hiệu max{$x_1,x_2,...,x_{n}$} là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_{n}$

Chứng minh rằng: 

max{$x_1,x_2,..,x_{n}$} $\geq \dfrac{\sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+...+|x_{n-1}-x_{n}|+|x_{n}-x_1|}{2n}$

 

$\boxed{2}$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $a \leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1,a+b\geq c$

 

Tìm min của

$$Q=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

 

 

$\boxed{3}$

Với mỗi số $n$ nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cộ định, xét các tập $n$ số thực đôi một khác nhau X={$x_1,x_2,...,x_{n}$}.Kí hiệu $C(X)$ là số các giá trị khác nhau của tổng $x_{i}+x_{j}$ $(1\leq i \leq j\leq n)$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $C(x)$

Bài 2: Ta có:$Q-\frac{5}{12}=\frac{2ab+a+b+abc-c}{(a+1)(b+1)(c+1)}-\frac{5}{12}=\frac{ab(c+1)+(a+1)(b+1)-(c+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}-\frac{5}{12}=\frac{ab}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{c+1}-\frac{1}{(a+1)(b+1)}-\frac{5}{12}=(\frac{ab}{(a+1)(b+1)}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{c+1}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{(a+1)(b+1)})=\frac{2ab-a-b-1}{3(a+1)(b+1)}+\frac{3-c}{4(c+1)}+\frac{ab+a+b-5}{6(a+1)(b+1)}\geq \frac{2ab-a-b-1}{3(a+1)(b+1)}+\frac{3-b-1}{4(c+1)}+\frac{ab+a+b-5}{6(a+1)(b+1)}\geq 0= > Q\geq \frac{5}{12}$

[Kaito Kuroba]

 

$\boxed{2}$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $a \leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1,a+b\geq c$

 

Tìm min của

$$Q=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

 

 

 

 

cách khác:

 

không mất tính tổng quát ta giã sử: $\left\{\begin{matrix}a=1+x >0 & \\
b=2+x >0& \\
c=3+x >0 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}=\frac{x ^3+8x ^2+18x+10}{x^3+9x^2+26x+24}$

 

kết hợp với ĐK đầu bài: $a\leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1;a+b\geq c$

 

 

nên ta suy ra được: $0\leq x \leq 1$ và giờ ta chỉ cần tìm GTNN của biểu thức:$\frac{x ^3+8x ^2+18x+10}{x^3+9x^2+26x+24}$

 

mà theo gia thiết ta có:với mọi $x\epsilon \left [ 0;1 \right ]\Rightarrow 7x^2+51x+86>0$

vì ĐK $x\geq 0\Rightarrow x\left (7x^2+51x+86 \right )\geq 0 \Leftrightarrow 7x^3+51x^2+86x\geq 0\Leftrightarrow 12x^3+96x^2+216x\geq 5x^3+45x^2+130x\Leftrightarrow 12x^3+96x^2+216x+120\geq 5x^3+45x^2+130x+130\Leftrightarrow 12(x^3+8x^2+18x+10)\geq 5(x^3+9x^2+26x+24)\Leftrightarrow \frac{x^3+8x^2+18x+10}{x^3+9x^2+26x+24}\geq \frac{5}{12}."="\Leftrightarrow a=1;b=2;c=3$

 

P/s: muốn tìm GTNN của bài này ta cần phải biết dự đoán điểm rơi dấu $"="$ của bài!

[Hoang Tung 126]

$\boxed{1}$

Cho $n$ số thực $x_1;x_2;...,x_{n}$ với $n\geq 3$

Kí hiệu max{$x_1,x_2,...,x_{n}$} là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_{n}$

Chứng minh rằng: 

max{$x_1,x_2,..,x_{n}$} $\geq \dfrac{\sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+...+|x_{n-1}-x_{n}|+|x_{n}-x_1|}{2n}$

 

$\boxed{2}$

Cho $a,b,c$ thỏa mãn: $a \leq b\leq 3\leq c;c\leq b+1,a+b\geq c$

 

Tìm min của

$$Q=\dfrac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$$

 

 

$\boxed{3}$

Với mỗi số $n$ nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 cộ định, xét các tập $n$ số thực đôi một khác nhau X={$x_1,x_2,...,x_{n}$}.Kí hiệu $C(X)$ là số các giá trị khác nhau của tổng $x_{i}+x_{j}$ $(1\leq i \leq j\leq n)$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $C(x)$

Một cách khác nữa:

Dự đoán $Q\geq \frac{5}{12}< = > 12(abc+2ab+a+b-c)\geq 5(a+1)(b+1)(c+1)< = > 7abc+7a+7b+19ab-5bc-5ac-17c-5\geq 0$

Theo Đirichle giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0= > 7abc\geq 7ac+7bc-7c,19ab\geq 19a+19b-19= > 7abc+7a+7b+19ab-5bc-5ac-17c-5\geq 7ac+7bc-7c+7a+7b+19a+19b-19-5bc-5ac-17c-5\geq 0< = > 2c(a+b)+26(a+b)-24c-5\geq 0$

Mà $a+b\geq c= > 2c(a+b)+26(a+b)-24c-5\geq 2c^2+26c-24c-24\geq 0< = >c^2+c-12\geq 0< = > (c-3)(c+4)\geq 0< = > c\geq 3$(Luôn đúng theo giả thiết)

[Yagami Raito]

Không mất tính tổng quát G/S 

$x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$

Do đó $x_{1}+x_{2}<x_{1}+x_{3}<...<x_{1}+x_{n}<x_{2}+x_{n}<x_{3}+x_{n}<...<x_{n-1}+x_{n}$

Tù đó MIN $C(X)$=n-1+n-2=2n-3

Ta tìm max như sau: 

Xét tập $X_2=${$2,2^2,..,2^{n}$} thì với mọi $1 \leq i <j \leq n$

   $$x_{i}+x_{j}=2^{i}+2^{j}$$

Giả sử tồn tại $1 \leq r \leq s \leq n$ sao cho $x_{r}+x_{s}=x_{i}+x_{j}$ $<=>$ $2^{r}+2^{s}=2^{i}+2^{j}$

$\Rightarrow 2^{r}(1+2^{s-r})$ $\Rightarrow 2^{r} \vdots 2^{i}$ và $2^{i} \vdots 2^{r}$

$r=i \Rightarrow s=j \Rightarrow C(X_{2})=\dfrac{n(n-1)}{2}$

Vậy max $C(X)=\dfrac{n(n-1)}{2}$

[Yagami Raito]

$\boxed{1}$

Cho $n$ số thực $x_1;x_2;...,x_{n}$ với $n\geq 3$

Kí hiệu max{$x_1,x_2,...,x_{n}$} là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_{n}$

Chứng minh rằng: 

max{$x_1,x_2,..,x_{n}$} $\geq \dfrac{\sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+...+|x_{n-1}-x_{n}|+|x_{n}-x_1|}{2n}$

 

 

Bài này đâu khó nhỉ 

 

Ta có max{$x,y$}$=\dfrac{x+y+|x+y|}{2}$

 

từ đây ta có $\dfrac{ \sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+...+|x_{n}-x_1|}{2n}$

$=\dfrac{max(x_1;x_2)+max(x_2;x_3)+...+max(x_{n};x_1)}{n} \leq $ max{$x_1;x_2;...;x_{n}$} (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 06-04-2014 - 11:33

[Chris yang]

Không mất tính tổng quát G/S 

$x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$

Do đó $x_{1}+x_{2}<x_{1}+x_{3}<...<x_{1}+x_{n}<x_{2}+x_{n}<x_{3}+x_{n}<...<x_{n-1}+x_{n}$

Tù đó MIN $C(X)$=n-1+n-2=2n-3

Bạn ơi bạn có thể giải thích rõ hộ mình chỗ này được không, mình chưa hiểu lắm

[buiminhhieu]

Bạn ơi bạn có thể giải thích rõ hộ mình chỗ này được không, mình chưa hiểu lắm

Đấy chính là số cặp cần tính mà

$n-1$ là của đoạn đầu

$n-2$ là của đoạn thứ 2