2 replies to this topic

[henry0905]

Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

Chứng minh: $x+y+z\leq xyz+2$

[lahantaithe99]

Cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

Chứng minh: $x+y+z\leq xyz+2$

 

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow x+y+z(1-xy)\leqslant 2$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$\left [ (x+y)+z(1-xy) \right ]^2\leqslant \left [ (x+y)^2+z^2 \right ]\left [ 1+(1-xy)^2 \right ]=(2+2xy)(2+x^2y^2-2xy)$

 

Ta sẽ chứng minh $(2xy+2)(2+x^2y^2-2xy)\leqslant 4\Leftrightarrow x^2y^2(xy-1)\leqslant 0(*)$

 

Lại có

 

$xy\leqslant \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=1\Rightarrow (*)$ đúng

 

Do đó ta có đpcm

[fcb]

Vậy dấu bằng là x=y=1,z=0